Задание 7 ЕГЭ по физике: МКТ, уравнение Клапейрона — Менделеева, изопроцессы

Что проверяет задание

Задание 7 проверяет умение работать с газовыми законами на уровне формул и пропорций, а не громоздких вычислений. Проверяются три связанные подтемы:

• основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ), связывающее давление, концентрацию молекул и их среднюю кинетическую энергию;
• уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона — Менделеева), связывающее давление, объём, температуру и количество вещества;
• изопроцессы — частные случаи уравнения состояния при постоянстве одного из параметров (температуры, давления или объёма).

Главный навык, который здесь тестируется, — умение видеть, какие величины изменяются, какие остаются постоянными, и быстро составлять отношение (пропорцию) между начальным и конечным состояниями газа, не вычисляя абсолютные значения.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка звучит так: «Концентрацию молекул газа увеличили в N раз, а среднюю кинетическую энергию теплового движения молекул — в M раз. Как и во сколько раз изменилось давление газа?» Или: «Идеальный газ изохорно нагрели, температура увеличилась в 2 раза. Как изменилось давление?»

Задание относится к части 1 экзамена, ответ — число (целое или с точностью до сотых/десятых, в зависимости от формулировки). За правильный ответ даётся 1 балл, частичного балла не предусмотрено. Специальных единиц измерения указывать не нужно — записывается только число или коэффициент кратности изменения величины.

Что нужно знать

Основное уравнение МКТ $$p = \frac{2}{3}n\bar{E}_k$$ где $p$ — давление газа, $n$ — концентрация молекул (число молекул в единице объёма), $\bar{E}_k$ — средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы.

Связь средней кинетической энергии с температурой: $$\bar{E}_k = \frac{3}{2}kT$$ где $k$ — постоянная Больцмана, $T$ — абсолютная температура в кельвинах.

Из этих двух формул следует ещё одна полезная запись основного уравнения МКТ: $$p = nkT$$

Уравнение Клапейрона — Менделеева (уравнение состояния идеального газа) $$pV = \frac{m}{M}RT = \nu RT$$ где $V$ — объём газа, $m$ — масса газа, $M$ — молярная масса, $\nu$ — количество вещества (число молей), $R$ — универсальная газовая постоянная.

Объединённый газовый закон (для постоянной массы газа): $$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$$

Изопроцессы — частные случаи, когда один параметр не меняется:

• Изотермический процесс ($T = \text{const}$) — закон Бойля — Мариотта: $$p_1 V_1 = p_2 V_2$$
• Изобарный процесс ($p = \text{const}$) — закон Гей-Люссака: $$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$$
• Изохорный процесс ($V = \text{const}$) — закон Шарля: $$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$$

Дополнительные соотношения, часто нужные для перевода одних величин в другие: $$n = \frac{N}{V}, \quad \nu = \frac{N}{N_A} = \frac{m}{M}, \quad p = nkT = \frac{2}{3}n\bar{E}_k$$ где $N$ — число молекул, $N_A$ — постоянная Авогадро.

Методы решения

Метод 1. Прямая подстановка в основное уравнение МКТ

Используется, когда в условии напрямую даны изменения концентрации молекул и средней кинетической энергии, а нужно найти изменение давления. Составляется отношение: $$\frac{p_2}{p_1} = \frac{n_2}{n_1} \cdot \frac{\bar{E}_{k2}}{\bar{E}_{k1}}$$

Мини-пример: концентрацию увеличили в 3 раза, среднюю энергию — в 2 раза. Тогда $\dfrac{p_2}{p_1} = 3 \cdot 2 = 6$, давление выросло в 6 раз.

Метод 2. Переход через температуру, если дана энергия молекул

Поскольку $\bar{E}_k = \frac{3}{2}kT$, изменение средней кинетической энергии в $x$ раз означает изменение температуры ровно в $x$ раз (при том же типе движения молекул). Это позволяет использовать законы изопроцессов вместо формулы МКТ.

Мини-пример: температуру увеличили в 4 раза при постоянном объёме. Значит, средняя энергия молекул тоже выросла в 4 раза, и по закону Шарля давление выросло в 4 раза.

Метод 3. Применение объединённого газового закона для двух состояний

Используется, когда меняются сразу несколько величин из тройки $p, V, T$ и масса газа постоянна. Записывается отношение: $$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2} \;\Rightarrow\; \frac{p_2}{p_1} = \frac{V_1}{V_2}\cdot\frac{T_2}{T_1}$$

Мини-пример: объём уменьшили в 2 раза, а температуру увеличили в 3 раза. Тогда $\dfrac{p_2}{p_1} = 2 \cdot 3 = 6$.

Метод 4. Работа с уравнением Клапейрона — Менделеева при изменении массы или числа молей

Если количество вещества газа меняется (например, часть газа выпустили), используют: $$\frac{p_1 V_1}{\nu_1 T_1} = \frac{p_2 V_2}{\nu_2 T_2} = R = \text{const}$$

Мини-пример: из баллона выпустили половину газа при постоянных объёме и температуре. Тогда $\nu_2 = \nu_1/2$, следовательно $p_2 = p_1/2$.

Метод 5. Анализ графиков изопроцессов

Если в задаче дан график зависимости $p(V)$, $p(T)$ или $V(T)$, нужно определить тип процесса по виду линии (гипербола — изотерма, прямая через начало координат — изобара или изохора) и применить соответствующий закон.

Мини-пример: на графике $p(T)$ изображена прямая, проходящая через начало координат — это изохорный процесс, и отношение давлений равно отношению температур.

Алгоритм решения по шагам

1. Определить, какие величины даны в условии и как именно они изменяются (во сколько раз увеличились или уменьшились).
2. Понять, какая физическая величина остаётся постоянной (масса газа, объём, давление или температура), а какая является искомой.
3. Выбрать подходящую формулу: основное уравнение МКТ, уравнение Клапейрона — Менделеева или конкретный закон изопроцесса.
4. Составить отношение искомой величины для двух состояний газа (конечного к начальному), подставив коэффициенты изменения вместо абсолютных значений.
5. Сократить общие множители и вычислить итоговое отношение.
6. Проверить знак и логику ответа: если все величины в правой части формулы растут, растёт и искомая величина; если что-то убывает — учесть это в отношении.

Разбор примеров

Пример 1. Среднюю кинетическую энергию теплового движения молекул разреженного газа уменьшили в 2 раза и концентрацию молекул газа уменьшили в 2 раза. Чему равно отношение конечного давления к начальному?

Шаг 1. Используем основное уравнение МКТ: $$p = \frac{2}{3}n\bar{E}_k$$

Шаг 2. Записываем отношение давлений для двух состояний: $$\frac{p_2}{p_1} = \frac{n_2}{n_1}\cdot\frac{\bar{E}_{k2}}{\bar{E}_{k1}}$$

Шаг 3. По условию концентрация уменьшилась в 2 раза, значит $\dfrac{n_2}{n_1} = \dfrac{1}{2}$. Средняя энергия тоже уменьшилась в 2 раза: $\dfrac{\bar{E}_{k2}}{\bar{E}_{k1}} = \dfrac{1}{2}$.

Шаг 4. Подставляем: $$\frac{p_2}{p_1} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0{,}25$$

Ответ: 0,25.

Пример 2. Концентрацию молекул одноатомного идеального газа уменьшили в 5 раз. Одновременно в 2 раза увеличили среднюю энергию хаотичного движения молекул газа. Чему равно отношение конечного давления к начальному?

Шаг 1. Снова применяем основное уравнение МКТ и отношение: $$\frac{p_2}{p_1} = \frac{n_2}{n_1}\cdot\frac{\bar{E}_{k2}}{\bar{E}_{k1}}$$

Шаг 2. Концентрация уменьшилась в 5 раз: $\dfrac{n_2}{n_1} = \dfrac{1}{5}$. Энергия увеличилась в 2 раза: $\dfrac{\bar{E}_{k2}}{\bar{E}_{k1}} = 2$.

Шаг 3. Подставляем значения: $$\frac{p_2}{p_1} = \frac{1}{5}\cdot 2 = \frac{2}{5} = 0{,}4$$

Ответ: 0,4. Обратите внимание, что упоминание «одноатомного газа» здесь не влияет на решение — основное уравнение МКТ справедливо для идеального газа любой атомности, поскольку связывает давление именно со средней кинетической энергией поступательного движения молекул, а не с полной внутренней энергией.

Пример 3. Во сколько раз изменится давление идеального газа, если среднюю кинетическую энергию теплового движения молекул газа увеличить в 2 раза и концентрацию молекул газа увеличить в 2 раза?

Шаг 1. Формула та же: $$\frac{p_2}{p_1} = \frac{n_2}{n_1}\cdot\frac{\bar{E}_{k2}}{\bar{E}_{k1}}$$

Шаг 2. Обе величины увеличились в 2 раза: $\dfrac{n_2}{n_1} = 2$, $\dfrac{\bar{E}_{k2}}{\bar{E}_{k1}} = 2$.

Шаг 3. Подставляем: $$\frac{p_2}{p_1} = 2 \cdot 2 = 4$$

Ответ: давление увеличится в 4 раза.

Все три примера показывают одну и ту же логику: как только видно, что даны концентрация и средняя кинетическая энергия (или температура), сразу используется основное уравнение МКТ в виде отношения, без перехода к объёму, давлению в паскалях или числам молекул — только коэффициенты кратности изменения.

Типичные ошибки и ловушки

• Путают среднюю кинетическую энергию молекул с внутренней энергией газа: у одноатомного газа они пропорциональны, но у многоатомного газа связь другая, поэтому в задачах на основное уравнение МКТ работает именно средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы, а не суммарная внутренняя энергия всего газа.
• Забывают, что при использовании закона Гей-Люссака и Шарля температура должна быть выражена в кельвинах, а не в градусах Цельсия — коэффициент кратности температуры считается только по абсолютной шкале.
• Не проверяют, какая величина в задаче остаётся постоянной. Если условие не говорит явно про изохорный, изобарный или изотермический процесс, но косвенно упоминает неизменный объём сосуда или закрытый баллон, это подсказка на изохорный процесс.
• Ошибаются со знаком степени в отношении: если величина уменьшилась в $n$ раз, в формулу подставляется дробь $\frac{1}{n}$, а не $n$; невнимательность здесь — частая причина неверного ответа.
• Путают концентрацию молекул $n$ с количеством вещества $\nu$ (числом молей) — это разные величины, связанные через объём и постоянную Авогадро, и подмена одной величины другой при решении задач с постоянным объёмом или переменной массой газа приводит к ошибке.
• Забывают, что при выпуске части газа из сосуда концентрация и количество вещества меняются пропорционально при неизменном объёме, что нужно явно учитывать в уравнении Клапейрона — Менделеева.

Как готовиться

Начать стоит с чёткого заучивания трёх ключевых формул: основного уравнения МКТ, уравнения Клапейрона — Менделеева и объединённого газового закона, а также трёх частных законов изопроцессов. Полезно не просто запомнить формулы, а понимать, откуда берётся каждая из них, — это помогает быстро восстановить нужное соотношение на экзамене, если формула вылетела из памяти.

Далее важно отработать навык составления отношений величин для двух состояний газа без перехода к конкретным числовым значениям в паскалях, кубометрах или кельвинах — большинство задач этого типа решаются именно через кратности изменения, а не через подстановку размерных величин.

Стоит решить набор задач на каждый изопроцесс отдельно, затем — задачи, где комбинируются два и более изменений одновременно (как в разобранных примерах с одновременным изменением концентрации и энергии). Полезно также порешать задачи с графиками $p(V)$, $p(T)$, $V(T)$, чтобы уверенно распознавать тип процесса по форме графика.

При самостоятельной проверке решений полезно всегда выписывать исходную формулу, затем формулу для отношения — это дисциплинирует и снижает число ошибок на кратности и дробях. Регулярная практика с разными комбинациями изменяющихся величин формирует автоматизм, который на экзамене экономит время и снижает риск арифметической ошибки.