Задание 7: Молекулярная физика

Типичная формулировка звучит так: «Концентрацию молекул газа увеличили в N раз, а среднюю кинетическую энергию теплового движения молекул — в M раз. Как и во сколько раз изменилось давление газа?» Или: «Идеальный газ изохорно нагрели, температура увеличилась в 2 раза. Как изменилось давление?»

…

Основное уравнение МКТ $$p = \frac{2}{3}n\bar{E}_k$$ где $p$ — давление газа, $n$ — концентрация молекул (число молекул в единице объёма), $\bar{E}_k$ — средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы.

Связь средней кинетической энергии с температурой: $$\bar{E}_k = \frac{3}{2}kT$$ где $k$ — постоянная Больцмана, $T$ — абсолютная температура в кельвинах.

Из этих двух формул следует ещё одна полезная запись основного уравнения МКТ: $$p = nkT$$

Уравнение Клапейрона — Менделеева (уравнение состояния идеального газа) $$pV = \frac{m}{M}RT = \nu RT$$ где $V$ — объём газа, $m$ — масса газа, $M$ — молярная масса, $\nu$ — количество вещества (число молей), $R$ — универсальная газовая постоянная.

Объединённый газовый закон (для постоянной массы газа): $$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$$

Изопроцессы — частные случаи, когда один параметр не меняется:

• Изотермический процесс ($T = \text{const}$) — закон Бойля — Мариотта: $$p_1 V_1 = p_2 V_2$$
• Изобарный процесс ($p = \text{const}$) — закон Гей-Люссака: $$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$$
• Изохорный процесс ($V = \text{const}$) — закон Шарля: $$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$$

Дополнительные соотношения, часто нужные для перевода одних величин в другие: $$n = \frac{N}{V}, \quad \nu = \frac{N}{N_A} = \frac{m}{M}, \quad p = nkT = \frac{2}{3}n\bar{E}_k$$ где $N$ — число молекул, $N_A$ — постоянная Авогадро.

1. Определить, какие величины даны в условии и как именно они изменяются (во сколько раз увеличились или уменьшились).
2. Понять, какая физическая величина остаётся постоянной (масса газа, объём, давление или температура), а какая является искомой.
3. Выбрать подходящую формулу: основное уравнение МКТ, уравнение Клапейрона — Менделеева или конкретный закон изопроцесса.
4. Составить отношение искомой величины для двух состояний газа (конечного к начальному), подставив коэффициенты изменения вместо абсолютных значений.
5. Сократить общие множители и вычислить итоговое отношение.
6. Проверить знак и логику ответа: если все величины в правой части формулы растут, растёт и искомая величина; если что-то убывает — учесть это в отношении.