Задание 9 ЕГЭ по физике: анализ процессов в молекулярной физике и термодинамике

Что проверяет задание

Задание 9 проверяет умение анализировать графики тепловых процессов и делать из них правильные физические выводы. Обычно дан график в осях $p$–$V$, $p$–$t$, $V$–$t$ или $p$–$\rho$, который описывает изменение состояния идеального газа (часто циклическое). Нужно выбрать из пяти предложенных утверждений все верные, опираясь на уравнение состояния идеального газа и первый закон термодинамики.

Задание объединяет две тесно связанные подтемы: поведение параметров газа (давление, объём, температура, плотность) и энергетический баланс процесса (внутренняя энергия, работа, теплота). Фактически проверяется не знание отдельных формул, а умение читать график и переводить геометрические особенности линии (наклон, направление, форма) в физические утверждения о температуре, работе и теплоте.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка: «На рисунке показан циклический процесс... Выберите все верные утверждения и укажите их номера». Даются 5 утверждений, среди которых от одного до трёх верных. Ответ — последовательность цифр без пробелов и знаков препинания, порядок цифр не важен.

За задание можно получить 2 балла (все верные номера названы и лишних нет) или 1 балл (указаны не все верные номера, но нет ни одного неверного, либо ответ отличается от полного на один номер). Если среди указанных есть неверный номер или ответ полностью не совпадает — 0 баллов. Поэтому важно проверять каждое утверждение по отдельности, а не угадывать общую комбинацию.

Что нужно знать

• Уравнение состояния идеального газа: $pV = \nu R T$.
• Уравнение через плотность: $p = \dfrac{\rho}{M}RT$, откуда $T = \dfrac{pM}{\rho R}$.
• Первый закон термодинамики: $Q = \Delta U + A$, где $A$ — работа, совершённая газом.
• Внутренняя энергия одноатомного газа: $U = \dfrac{3}{2}\nu R T$; для двухатомного — $U = \dfrac{5}{2}\nu R T$.
• Работа газа при расширении/сжатии: $A = \displaystyle\int p\,dV$; на изобаре $A = p\Delta V$; на изохоре $A = 0$.
• Изохорный процесс ($V=\text{const}$): $\dfrac{p}{T}=\text{const}$ (закон Шарля).
• Изобарный процесс ($p=\text{const}$): $\dfrac{V}{T}=\text{const}$ (закон Гей-Люссака).
• Изотермический процесс ($T=\text{const}$): $pV=\text{const}$ (закон Бойля — Мариотта), на графике $p$–$V$ это гипербола.
• За полный цикл внутренняя энергия не меняется: $\Delta U_{цикл}=0$, поэтому $Q_{цикл}=A_{цикл}$.
• Работа газа за цикл численно равна площади фигуры, ограниченной циклом на диаграмме $p$–$V$.
• Плотность газа $\rho = m/V$: при постоянной массе $\rho$ обратно пропорциональна объёму.

Методы решения

1. Классификация линии на графике $p$–$V$. Горизонтальный отрезок — изобара, вертикальный — изохора, гипербола — изотерма, наклонная прямая через начало координат — линия, вдоль которой $p/V=\text{const}$, то есть $T \propto V^2$ (не изотерма!). Пример: если на изохоре давление растёт, то по закону Шарля температура тоже растёт, значит внутренняя энергия увеличивается.

2. Определение знака работы по направлению процесса. Если объём газа увеличивается — работа газа положительна, если уменьшается — отрицательна, на изохоре работа всегда равна нулю. Пример: на изобаре при переходе от меньшего объёма к большему $A = p\Delta V > 0$.

3. Анализ температуры через произведение $pV$. Так как $T = pV/(\nu R)$, для сравнения температур в разных точках графика $p$–$V$ достаточно сравнить произведения координат этих точек. Пример: в точке $(V_1, p_1)$ и точке $(4V_1, p_1)$ на одной изобаре температура во второй точке в 4 раза больше.

4. Метод графика $p$–$t$ (или $V$–$t$) для сосуда постоянного объёма. Здесь используется закон Шарля: $p = \dfrac{\nu R}{V}T$. При линейном нагреве $T(t)$ наклон прямой $p(t)$ пропорционален количеству вещества $\nu$: чем круче линия, тем больше $\nu$ (при одинаковой скорости нагрева и одинаковом объёме). Пример: если давление газа 1 растёт быстрее давления газа 2 в одинаковых сосудах, то $\nu_1 > \nu_2$.

5. Метод графика $p$–$\rho$. Из $T = \dfrac{pM}{\rho R}$ следует, что температура пропорциональна отношению $p/\rho$ — то есть тангенсу угла наклона отрезка, соединяющего начало координат с точкой на графике. Прямая, проходящая через начало координат, — изотерма ($T=\text{const}$ при изменении $p$ и $\rho$ пропорционально). Пример: если точка перемещается по кривой так, что луч из начала координат к ней становится круче, температура в этой точке растёт.

Алгоритм решения по шагам

1. Определить, какие величины отложены по осям графика (p–V, p–t, p–ρ и т.д.).
2. Разбить процесс на участки и определить тип каждого: изохора, изобара, изотерма, произвольная линия, дуга.
3. Для каждого участка выяснить, как меняются $p$, $V$ (или $\rho$) и вычислить или оценить изменение $T$ через уравнение состояния.
4. Определить знак работы газа на каждом участке по направлению изменения объёма.
5. Через первый закон термодинамики $Q=\Delta U+A$ определить знак теплоты на каждом участке.
6. При необходимости вычислить численные значения (отношения температур, работ) по конкретным координатам узловых точек, данным на рисунке.
7. Проверить каждое из пяти утверждений по отдельности, отметить верные и собрать номера в ответ без пробелов.

Разбор примеров

Пример 1. Один моль одноатомного идеального газа проходит цикл 1–2–3–4–1 на диаграмме $p$–$V$. Цикл образован двумя изохорами (1–2 и 3–4) и двумя изобарами (2–3 и 4–1): на участке 1–2 давление растёт при постоянном объёме, на 2–3 объём уменьшается при постоянном давлении, на 3–4 давление падает при постоянном объёме, на 4–1 объём возрастает при постоянном давлении (причём в 4 раза, судя по формулировке).

Шаг 1. Участок 1–2: изохора, давление растёт. По закону Шарля $p/T=\text{const}$, значит температура растёт, а вместе с ней и внутренняя энергия $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$. Утверждение 1 верно.

Шаг 2. Участок 2–3: изобара, но по графику объём уменьшается (движение к меньшим $V$ при постоянном $p$). Тогда $A=p\Delta V<0$ — газ совершает отрицательную работу (работа совершается над газом). Утверждение 2 («газ совершает положительную работу») неверно.

Шаг 3. Участок 3–4: изохора, давление падает, значит температура падает, $\Delta U<0$. Работа на изохоре равна нулю, поэтому по первому закону $Q=\Delta U<0$ — газ отдаёт теплоту. Утверждение 3 верно.

Шаг 4. Участок 4–1: изобара, объём увеличивается. По закону Гей-Люссака $V/T=\text{const}$, температура растёт пропорционально объёму. Если по графику видно, что объём в точке 1 в 4 раза больше объёма в точке 4, то и температура вырастает в 4 раза. Утверждение 4 верно.

Шаг 5. Сравнение работ 1–2 и 3–4: оба этих участка — изохоры, значит на них работа газа равна нулю в обоих случаях. Утверждение о том, что одна нулевая работа «в 3 раза больше» другой нулевой работы, физически некорректно и неверно.

Итог: верны утверждения 1, 3, 4 — ответ 134.

Пример 2. В двух одинаковых закрытых сосудах объёмом 1 литр нагреваются два разных газа; на графике $p(t)$ показаны их давления, начальные температуры равны, в момент $t=40$ мин давления совпадают.

Шаг 1. Сосуды закрытые, значит объём постоянен для каждого газа — процесс изохорный, работа газа равна нулю на всём протяжении эксперимента для обоих газов. Утверждение 5 верно.

Шаг 2. Раз давление растёт со временем при постоянном объёме, по закону Шарля растёт и температура, а значит растёт и внутренняя энергия $U=\dfrac{3}{2}\nu RT$ (или с другим коэффициентом для неодноатомного газа). Утверждение 4 («внутренняя энергия не меняется») неверно.

Шаг 3. Наклон линии $p(t)$ определяется скоростью роста давления. Из уравнения $p=\dfrac{\nu R}{V}T$ следует, что при одинаковом объёме и одинаковой скорости нагрева более крутой наклон соответствует большему количеству вещества $\nu$. Если линия газа 1 круче, то $\nu_1>\nu_2$. Утверждение 1 верно.

Шаг 4. В момент $t=40$ мин давления равны, объёмы тоже равны, но количества вещества различны. Из $T=\dfrac{pV}{\nu R}$ видно, что при одинаковых $p$ и $V$ температура обратно пропорциональна $\nu$: газ с большим $\nu$ имеет меньшую температуру. Значит $T_1<T_2$ в этот момент — утверждение 3 верно, а утверждение 2 (равенство давлений и объёмов автоматически даёт равные температуры) неверно, так как не учитывает разное количество вещества.

Итог: верны утверждения 1, 3, 5 — ответ 135.

Пример 3. 2 моль идеального газа совершают цикл на диаграмме $p$–$\rho$, состоящий из двух отрезков прямых и четверти окружности (точки 1, 2, 3).

Шаг 1. Используем формулу $T=\dfrac{pM}{\rho R}$: температура в каждой точке пропорциональна отношению $p/\rho$, то есть тангенсу угла наклона луча, проведённого из начала координат в эту точку. Значит, чтобы сравнить температуры в узловых точках 1, 2, 3, нужно сравнить наклоны соответствующих лучей — чем круче луч, тем выше температура.

Шаг 2. Если отрезок прямой на графике проходит через начало координат, вдоль него отношение $p/\rho$ постоянно — это изотерма, температура на всём участке не меняется, хотя и $p$, и $\rho$ (а значит и объём) при этом меняются.

Шаг 3. Анализ участка 1–2 (отрезок, не проходящий через начало координат): если при движении от точки 1 к точке 2 луч из начала координат становится более пологим (наклон уменьшается), то температура падает — это соответствует утверждению 1 («в процессе 1–2 температура уменьшается»).

Шаг 4. На дуге окружности 2–3 нужно найти точку, где луч из начала координат к окружности максимально крутой — это и есть точка максимальной температуры цикла. Если такой точкой оказывается не точка 3, а другая точка на дуге, утверждение 2 («в состоянии 3 температура максимальна») неверно.

Шаг 5. Изменение объёма на участке 2–3 определяется изменением плотности: $V=m/\rho$. Если по графику видно, что плотность на этом участке не уменьшается (движение вдоль дуги в сторону увеличения $\rho$), то объём не уменьшается, а увеличивается или ведёт себя немонотонно — утверждение 3 («объём уменьшается») неверно.

Шаг 6. Отношение максимальной и минимальной температур цикла находится как отношение квадратов соответствующих наклонов лучей (поскольку $T\propto p/\rho$, а на графике конкретные координаты точек дают числовое значение, например 8) — утверждение 4 верно.

Шаг 7. На участке 3–1 (отрезок через начало координат — изотерма) нужно определить, растёт или падает плотность, то есть объём. Если плотность на этом участке растёт (движение к большему $\rho$), то объём уменьшается, а значит работа газа отрицательна — утверждение 5 («работа в процессе 3–1 положительна») неверно.

Итог: верны утверждения 1 и 4 — ответ 14.

Типичные ошибки и ловушки

• Наклонную прямую, проходящую через начало координат на диаграмме $p$–$V$, ошибочно принимают за изотерму — на самом деле изотерма это гипербола, а прямая через ноль даёт $T\propto V$ (или $T\propto V^2$, в зависимости от осей).
• Забывают, что на изохоре работа газа всегда равна нулю независимо от того, как сильно меняется давление.
• Путают знак работы: работа газа положительна при расширении и отрицательна при сжатии; работа внешних сил над газом имеет противоположный знак.
• Определяют знак теплоты только по знаку работы, забывая учесть изменение внутренней энергии — нужно использовать полную формулу $Q=\Delta U+A$.
• На графиках $p$–$t$ или $V$–$t$ забывают, что вид зависимости определяется тем, какая величина считается постоянной (объём или давление сосуда), и путают закон Шарля с законом Гей-Люссака.
• На графиках $p$–$\rho$ не переводят задачу в температуру через $T=pM/(\rho R)$, а пытаются судить о температуре «на глаз» по форме кривой.
• В циклических процессах забывают ключевой факт $\Delta U_{цикл}=0$, что сильно упрощает нахождение теплоты за полный цикл.
• Не проверяют все пять утверждений по отдельности, а стараются угадать комбинацию — это приводит к случайным ошибкам и потере баллов.

Как готовиться

Отработайте узнавание типов линий на всех трёх видах диаграмм — $p$–$V$, $p$–$t$ (или $V$–$t$) и $p$–$\rho$ — и умение мгновенно переводить особенности линии в вывод о температуре, работе и теплоте. Составляйте для каждой задачи таблицу по участкам процесса: изменение $p$, изменение $V$ (или $\rho$), изменение $T$, знак $A$, знак $Q$ — такая таблица почти всегда сразу показывает, какие утверждения верны. Регулярно решайте варианты с циклическими процессами, обращая внимание на площадь фигуры как меру работы за цикл. Держите под рукой список формул из раздела «Что нужно знать» и тренируйтесь применять их без калькулятора, опираясь только на пропорциональные соотношения между величинами.