Задание 8 ЕГЭ по физике: внутренняя энергия, теплота, КПД тепловых машин

Что проверяет задание

Задание 8 проверяет умение работать с базовыми величинами молекулярной физики и термодинамики: внутренней энергией идеального газа, количеством теплоты, работой газа и КПД тепловых машин. По сути это задание на применение 2–3 формул и грамотную подстановку данных с учётом единиц измерения.

Проверяемые умения:

• находить внутреннюю энергию идеального газа через температуру, давление и объём;
• применять первый закон термодинамики $Q=\Delta U+A$;
• работать с теплоёмкостью, теплотой плавления и парообразования;
• считать КПД тепловой машины по циклу, в том числе используя график в координатах $p$–$V$ или $p$–$T$.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Задание 8 — это задача с кратким числовым ответом, оценивается в 1 балл. Обычно формулировка звучит так:

• «Определите внутреннюю энергию порции газа, если известны…»;
• «Как изменилась внутренняя энергия при увеличении давления и уменьшении объёма?»;
• «На рисунке показан циклический процесс… На каком участке выполняется условие…»;
• «Сколько теплоты нужно для плавления/испарения тела массой…»;
• «Найдите КПД тепловой машины, если за цикл получено количество теплоты… и совершена работа…».

Часто в задании даётся график зависимости $p(V)$, $p(T)$ или $V(T)$, и требуется определить характер процесса (изохорный, изобарный, изотермический) для дальнейших расчётов.

Что нужно знать

Внутренняя энергия идеального одноатомного газа: $$U=\frac{3}{2}\nu R T=\frac{3}{2}NkT=\frac{3}{2}pV$$ где $\nu$ — количество вещества (моль), $N$ — число молекул, $k$ — постоянная Больцмана, $R$ — универсальная газовая постоянная.

Связь числа частиц и количества вещества: $$N=\nu N_A,\qquad \nu=\frac{m}{M}$$

Уравнение состояния идеального газа (Менделеева–Клапейрона): $$pV=\nu RT=NkT$$

Первый закон термодинамики: $$Q=\Delta U+A$$ где $Q$ — количество теплоты, переданное газу, $A$ — работа, совершённая газом, $\Delta U$ — изменение внутренней энергии.

Работа газа:

• при постоянном давлении (изобара): $A=p\Delta V$;
• при изохорном процессе ($V=\text{const}$): $A=0$;
• при изотермическом процессе ($T=\text{const}$): $\Delta U=0$, значит $Q=A$;
• на графике $p$–$V$ работа численно равна площади под графиком процесса.

Теплоёмкость: $$C=\frac{Q}{\Delta T},\qquad c=\frac{Q}{m\Delta T}$$ где $c$ — удельная теплоёмкость вещества.

Теплота плавления и парообразования: $$Q_{\text{пл}}=\lambda m,\qquad Q_{\text{пар}}=Lm$$ где $\lambda$ — удельная теплота плавления, $L$ — удельная теплота парообразования.

КПД тепловой машины: $$\eta=\frac{A}{Q_1}=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}$$ где $Q_1$ — теплота, полученная от нагревателя, $Q_2$ — теплота, отданная холодильнику, $A$ — полезная работа за цикл.

КПД идеальной машины Карно (максимально возможный при заданных температурах): $$\eta_{\max}=\frac{T_1-T_2}{T_1}$$ где $T_1$ — температура нагревателя, $T_2$ — температура холодильника (в кельвинах).

Важные постоянные: $$k=1{,}38\cdot10^{-23}\ \text{Дж/К},\quad R=8{,}31\ \text{Дж/(моль·К)},\quad N_A=6{,}02\cdot10^{23}\ \text{моль}^{-1}$$

Методы решения

1. Расчёт внутренней энергии через число частиц и температуру. Если известны температура и энергия, число частиц находится из формулы $U=\frac32 NkT$. Пример: при $T=300$ К и $U=1{,}242$ Дж число атомов находится как $N=\dfrac{2U}{3kT}$.

2. Расчёт внутренней энергии через давление и объём. Формула $U=\frac32 pV$ удобна, когда в задаче даны отношения изменения давления и объёма, а не абсолютные значения. Пример: если $p$ увеличилось в 6 раз, а $V$ уменьшилось в 1,5 раза, то произведение $pV$ увеличилось в $6/1{,}5=4$ раза, следовательно, $U$ также увеличилась в 4 раза.

3. Анализ графика процесса и определение вида процесса. По графику $p$–$V$: вертикальный отрезок — изохора ($A=0$), горизонтальный — изобара ($A=p\Delta V$), кривая — может быть изотерма ($pV=\text{const}$). Зная тип процесса, легко определить, что происходит с $A$ и $\Delta U$, и подставить это в $Q=\Delta U+A$. Пример: если отрезок цикла вертикальный, то $A=0$ и всё полученное тепло идёт на изменение внутренней энергии: $Q=\Delta U$.

4. Работа через площадь под графиком. Если график $p(V)$ содержит несколько участков, работу за цикл находят как площадь замкнутой фигуры (для цикла) или площадь под конкретным участком (для отдельного процесса). Пример: на изобаре при $p=2\cdot10^5$ Па и $\Delta V=0{,}01$ м³ работа равна $A=p\Delta V=2000$ Дж — это площадь прямоугольника под графиком.

5. Расчёт КПД через теплоты нагревателя и холодильника. Если даны $Q_1$ и $Q_2$ (или $Q_1$ и $A$), КПД находится по формуле $\eta=\dfrac{Q_1-Q_2}{Q_1}$ или $\eta=\dfrac{A}{Q_1}$. Пример: если за цикл получено $Q_1=1000$ Дж, а отдано $Q_2=600$ Дж, то $\eta=\dfrac{1000-600}{1000}=0{,}4=40\%$.

Алгоритм решения по шагам

1. Определить, что дано и что нужно найти: величина энергии, теплоты, работы, КПД или число частиц.
2. Выбрать подходящую формулу для внутренней энергии — через $T$ (формула $\frac32 NkT$ или $\frac32\nu RT$) или через $p,V$ (формула $\frac32 pV$), исходя из того, какие данные удобнее использовать.
3. Если в задаче есть график, определить тип процесса на каждом участке (изохора, изобара, изотерма) и записать, чему равны $A$ и $\Delta U$ на этом участке.
4. Применить первый закон термодинамики $Q=\Delta U+A$, подставив известные величины.
5. Если ищется КПД, вычислить его по формуле $\eta=A/Q_1$ либо $\eta=(Q_1-Q_2)/Q_1$; при необходимости сравнить с максимально возможным КПД по циклу Карно.
6. Проверить единицы измерения и перевести все величины в СИ (Кельвины, Паскали, метры кубические, Джоули).
7. Подставить числа и получить ответ, проверив разумность порядка величины.

Разбор примеров

Пример 1. Условие: порция идеального одноатомного газа при температуре 300 К обладает внутренней энергией 1,242 Дж. Сколько атомов содержит эта порция газа? Ответ должен быть целым числом, умножающимся на $10^{20}$.

Шаг 1. Используем формулу внутренней энергии через число молекул: $$U=\frac{3}{2}NkT$$

Шаг 2. Выражаем число молекул: $$N=\frac{2U}{3kT}$$

Шаг 3. Подставляем числа: $U=1{,}242$ Дж, $T=300$ К, $k=1{,}38\cdot10^{-23}$ Дж/К.

Сначала считаем знаменатель: $$3kT=3\cdot1{,}38\cdot10^{-23}\cdot300=1{,}242\cdot10^{-20}\ \text{Дж}$$

Шаг 4. Подставляем в формулу для $N$: $$N=\frac{2\cdot1{,}242}{1{,}242\cdot10^{-20}}=\frac{2}{10^{-20}}=2\cdot10^{20}$$

Ответ: 2 (то есть $2\cdot10^{20}$ атомов).

Пример 2. Условие: порция идеального одноатомного газа обладала внутренней энергией 300 Дж. В некотором процессе давление увеличилось в 6 раз, а объём уменьшился в 1,5 раза. Чему стала равна внутренняя энергия газа в конце процесса?

Шаг 1. Используем формулу внутренней энергии через давление и объём: $$U=\frac{3}{2}pV$$

Шаг 2. Обозначим начальные значения $p_1,V_1$, конечные — $p_2=6p_1$, $V_2=\dfrac{V_1}{1{,}5}$.

Шаг 3. Найдём, как изменилось произведение $pV$: $$\frac{p_2V_2}{p_1V_1}=\frac{6p_1\cdot \dfrac{V_1}{1{,}5}}{p_1V_1}=\frac{6}{1{,}5}=4$$

Шаг 4. Так как $U$ пропорциональна произведению $pV$, внутренняя энергия также увеличилась в 4 раза: $$U_2=4U_1=4\cdot300=1200\ \text{Дж}$$

Ответ: 1200 Дж.

Пример 3. Условие: на рисунке показан циклический процесс изменения состояния 1 моль одноатомного идеального газа (график в координатах $p$–$V$, состоящий из нескольких участков). На каком участке цикла изменение внутренней энергии газа равно полученному газом количеству теплоты?

Шаг 1. Записываем первый закон термодинамики для произвольного участка: $$Q=\Delta U+A$$

Шаг 2. Условие задачи означает, что $Q=\Delta U$. Подставив в первый закон, получаем: $$\Delta U=\Delta U+A \;\Rightarrow\; A=0$$

Шаг 3. Работа газа равна нулю только тогда, когда объём не меняется, то есть процесс изохорный ($V=\text{const}$). На графике $p$–$V$ такой участок изображается вертикальным отрезком.

Шаг 4. Просматриваем все участки цикла и находим тот, где объём постоянен, а давление меняется (вертикальная линия на графике). Именно на этом участке работа равна нулю, и всё переданное газу тепло идёт на изменение его внутренней энергии.

Шаг 5. По условию рисунка таким участком является участок 2.

Ответ: 2.

Типичные ошибки и ловушки

• Путают формулы внутренней энергии. Для одноатомного газа коэффициент $\frac32$, для двухатомного — $\frac52$. В задании 8 почти всегда речь идёт об одноатомном газе, но стоит перечитать условие.
• Забывают переводить температуру в кельвины. Все формулы МКТ работают только с абсолютной температурой; подстановка температуры в градусах Цельсия даёт неверный результат.
• Путают знак работы газа. Если газ расширяется, он совершает положительную работу над внешними телами ($A>0$); если сжимается — работа газа отрицательна, а внешние силы совершают положительную работу над газом.
• Не определяют тип процесса по графику. Ошибочно считают работу ненулевой на изохоре или, наоборот, забывают учесть работу на изобаре — из-за этого неверно применяют первый закон термодинамики.
• Путают $Q_1$ и $Q_2$ в формуле КПД. $Q_1$ — теплота, полученная от нагревателя, $Q_2$ — отданная холодильнику; КПД всегда $\eta=\dfrac{Q_1-Q_2}{Q_1}$, а не наоборот.
• Забывают, что $\eta_{\max}$ по циклу Карно — это верхняя граница, а не универсальная формула для любого цикла; её можно использовать только тогда, когда явно указано, что цикл — Карно, или требуется найти максимально возможный КПД.
• Ошибки в арифметике с порядками чисел. При работе с постоянной Больцмана и малыми числами легко потерять степень десяти — стоит внимательно следить за порядком при упрощении дробей.

Как готовиться

• Выучить наизусть все формулы из раздела «Что нужно знать» и уметь быстро выводить связи между ними (например, как $\frac32 NkT$ переходит в $\frac32 pV$ через уравнение состояния).
• Тренироваться на задачах с графиками $p$–$V$, $p$–$T$, $V$–$T$: для каждого участка сразу определять тип процесса и записывать, что происходит с $A$, $\Delta U$ и $Q$.
• Решать задачи на КПД разного типа: когда даны $Q_1$ и $A$, когда даны $Q_1$ и $Q_2$, когда нужно сравнить реальный КПД с максимальным по циклу Карно.
• Отдельно прорешать задачи на теплоту плавления и парообразования, обращая внимание на то, что при фазовом переходе температура тела не меняется, вся теплота идёт на изменение агрегатного состояния.
• После каждой решённой задачи проверять размерности промежуточных и конечного результата — это помогает быстро находить ошибки в подстановке.
• Разобрать 15–20 задач именно на задание 8 из разных вариантов, чтобы отработать скорость применения формул и не тратить время на выбор метода на экзамене.