Функции с параметром в задании 18: наибольшее и наименьшее значение

О чём эта подтема

В задании 18 часто встречаются функции вида $f(x)=|x-a|-x^2$ или $f(x)=4ax+|x^2-6x+5|$ — то есть кусочно-заданные функции, где параметр $a$ входит и в линейную, и в квадратичную часть. Задача — найти, при каких значениях $a$ наибольшее (или наименьшее) значение такой функции удовлетворяет заданному неравенству: не меньше числа, больше числа и т.п.

Особенность этой подтемы в том, что экстремум функции сам оказывается функцией параметра. Нужно сначала понять, как устроен график при произвольном $a$, найти формулу для наибольшего (наименьшего) значения $M(a)$, а затем решить неравенство относительно $a$. Это соединяет знания о модуле, квадратичной функции и работу с параметрическими неравенствами.

Что нужно знать

• Как раскрывается модуль: $|g(x)| = g(x)$, если $g(x)\ge 0$, и $|g(x)|=-g(x)$, если $g(x)<0$. После раскрытия модуля функция становится кусочной, обычно с двумя-тремя «кусками».
• Свойства параболы $y=Ax^2+Bx+C$: вершина находится в точке $x_0=-\dfrac{B}{2A}$, значение в вершине $y_0=C-\dfrac{B^2}{4A}$. Если $A<0$ — ветви вниз, вершина даёт максимум; если $A>0$ — ветви вверх, вершина даёт минимум.
• Экстремум каждого куска достигается либо в вершине соответствующей параболы (если она попадает в область определения этого куска), либо на границе куска (в точке стыка с соседним куском).
• Кусочная функция непрерывна в точках стыка — значения слева и справа совпадают. Это удобно для проверки вычислений.
• Поведение функции на бесконечности: если $f(x)\to +\infty$ при $x\to\pm\infty$, наименьшее значение существует и достигается в конечной точке; если $f(x)\to -\infty$, то наибольшее значение достигается в конечной точке.
• Итоговое наибольшее (наименьшее) значение $M(a)$ обычно получается как максимум (минимум) из нескольких кандидатов — значений в вершинах и в точках стыка, каждое из которых зависит от $a$. Нужно уметь сравнивать эти выражения между собой при разных $a$.
• Финальный шаг — решение неравенства с параметром, часто содержащего модуль или квадратный корень, — это обычная работа с алгебраическими неравенствами.

Как решать: метод и алгоритм

1. Раскрыть модуль. Определить, при каком условии на $x$ (возможно, зависящем от $a$) выражение под модулем неотрицательно, и записать функцию как кусочно-заданную без модуля.
2. Описать каждый кусок. Для каждого куска — это либо парабола, либо линейная функция. Найти вершину параболы (если кусок квадратичный) и её значение.
3. Проверить, попадает ли вершина в область куска. Условие вхождения вершины в свой промежуток обычно даёт неравенство на параметр $a$ — это создаёт разбиение на случаи (регионы значений $a$).
4. Найти значения в точках стыка кусков — это ещё одни кандидаты на экстремум, особенно если вершина не попадает в свой кусок.
5. Составить формулу $M(a)$ — наибольшее (или наименьшее) значение функции как функцию от $a$, сравнивая между собой кандидатов в каждом случае. Часто на разных промежутках значений $a$ получаются разные аналитические выражения, которые в итоге можно объединить в одну компактную формулу (например, через модуль).
6. Решить неравенство относительно $a$, используя условие задачи ($M(a)\ge 1$, $M(a)>-24$ и т.д.).
7. Проверить ответ на границах и подстановкой конкретных значений $a$.

Альтернативный (геометрический) путь: свести неравенство к сравнению графика параболы (или её отражённой части) с прямой, зависящей от параметра, и искать значения параметра, при которых прямая касается параболы (через равенство дискриминанта нулю). Этот путь быстрее, но требует аккуратной проверки, какое из двух значений параметра соответствует нужному расположению графиков.

Разбор примера

Пример 1

Условие: найти все $a$, при которых наибольшее значение функции $f(x)=|x-a|-x^2$ не меньше $1$.

Шаг 1. Раскрываем модуль.

При $x\ge a$: $f(x)=x-a-x^2=-x^2+x-a$.

При $x<a$: $f(x)=a-x-x^2=-x^2-x+a$.

Обе части — параболы с ветвями вниз, значит, каждая имеет максимум в своей вершине.

Шаг 2. Вершины парабол.

Правая часть $-x^2+x-a$: вершина при $x=\dfrac12$, значение $f\left(\dfrac12\right)=\dfrac14-a$.

Левая часть $-x^2-x+a$: вершина при $x=-\dfrac12$, значение $f\left(-\dfrac12\right)=\dfrac14+a$.

Шаг 3. Условия попадания вершин в свои области.

Правая вершина $x=\dfrac12$ входит в область $x\ge a$, если $a\le \dfrac12$.

Левая вершина $x=-\dfrac12$ входит в область $x<a$, если $a> -\dfrac12$.

Шаг 4. Сравниваем кандидатов по случаям.

• При $a\le -\dfrac12$: только правая вершина в своей области, левая часть монотонно возрастает к точке стыка $x=a$, где $f(a)=-a^2$. Сравнение $\dfrac14-a$ и $-a^2$ показывает, что при таких $a$ больше первое выражение. Значит, $M(a)=\dfrac14-a$.
• При $-\dfrac12<a\le \dfrac12$: обе вершины в своих областях. $M(a)=\max\left(\dfrac14+a,\ \dfrac14-a\right)=\dfrac14+|a|$.
• При $a>\dfrac12$: только левая вершина в области, правая часть убывает от точки стыка, где значение $-a^2$ меньше $\dfrac14+a$. Значит, $M(a)=\dfrac14+a$.

Шаг 5. Объединяем.

Во всех трёх случаях получаем одну и ту же компактную формулу: $$M(a)=\dfrac14+|a|.$$

Это можно проверить на $a=0$: функция $f(x)=|x|-x^2$ чётная, её максимум при $x=\pm\dfrac12$ равен $\dfrac14$, что совпадает с формулой.

Шаг 6. Решаем неравенство.

$$\dfrac14+|a|\ge 1 \iff |a|\ge \dfrac34 \iff a\le -\dfrac34 \ \text{или}\ a\ge \dfrac34.$$

Ответ: $a\in\left(-\infty;-\dfrac34\right]\cup\left[\dfrac34;+\infty\right)$.

Пример 2 (кратко по шагам)

Условие: найти все $a$, при которых наименьшее значение функции $f(x)=4ax+|x^2-6x+5|$ больше $-24$.

Шаг 1. Раскрываем модуль. Подкоренное выражение $x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$ неотрицательно вне отрезка $[1;5]$ и отрицательно внутри него.

На отрезке $[1;5]$: $f(x)=4ax-(x^2-6x+5)=-x^2+2(2a+3)x-5$ — парабола с ветвями вниз.

Вне отрезка: $f(x)=4ax+(x^2-6x+5)=x^2+2(2a-3)x+5$ — парабола с ветвями вверх, ось симметрии $x=3-2a$.

Шаг 2. Определяем кандидатов на минимум. Так как внутри отрезка функция вогнута (максимум, не минимум), минимум может достигаться только на границах отрезка ($x=1$, $x=5$) или в вершине внешней параболы $x=3-2a$ (если та лежит вне отрезка $[1;5]$).

Шаг 3. Записываем систему условий. Наименьшее значение больше $-24$ тогда и только тогда, когда все три кандидата больше $-24$: $$f(1)=4a>-24,\quad f(5)=20a>-24,\quad f(3-2a)>-24.$$

Первые два неравенства дают $a>-6$ и $a>-\dfrac{6}{5}$ — второе сильнее.

Для третьего: подставив $x=3-2a$ во внешнюю параболу, получаем условие $|2a-3|<\sqrt{29}$, то есть $$\dfrac{3-\sqrt{29}}{2}<a<\dfrac{3+\sqrt{29}}{2}.$$

Шаг 4. Пересекаем условия. Так как $\dfrac{3-\sqrt{29}}{2}\approx-1{,}19$ и это условие сильнее, чем $a>-\dfrac{6}{5}$, итоговым ограничением становится именно неравенство с корнем.

Ответ: $a\in\left(\dfrac{3-\sqrt{29}}{2};\ \dfrac{3+\sqrt{29}}{2}\right)$.

Этот пример показывает: если внутренний кусок даёт локальный максимум, а не минимум, для поиска наименьшего значения достаточно рассмотреть только границы отрезка и вершину внешней параболы — не нужно анализировать вершину параболы внутри отрезка вообще.

Типичные ошибки

• Не проверяется, попадает ли вершина параболы в область своего куска. Часто школьники сразу берут формулу вершины $x_0=-B/(2A)$ и подставляют её значение как экстремум, забывая, что вершина может оказаться вне области определения этого куска — тогда экстремум находится на границе.
• Путаница между максимумом и минимумом при разных направлениях ветвей. Если кусок — парабола с ветвями вверх, в нём стоит искать минимум, а не максимум, и наоборот.
• Забывают о точках стыка кусков как о самостоятельных кандидатах на экстремум. Особенно это важно, когда вершина внутреннего куска не подходит.
• Неверное сравнение выражений с параметром. Сравнивая, например, $\dfrac14-a$ и $-a^2$, легко ошибиться со знаком при выделении случаев — стоит решать неравенство $\dfrac14-a>-a^2$ отдельно, а не «на глаз».
• Потеря части случаев при объединении формулы $M(a)$. Полезно проверить итоговую формулу на конкретном значении параметра (например, $a=0$), подставив его прямо в исходную функцию.
• Ошибки при решении финального неравенства с модулем или корнем — забывают учесть оба знака модуля или неправильно возводят в квадрат неравенство с корнем.
• Путают строгие и нестрогие неравенства. Условие «не меньше 1» даёт $\ge$, а «больше $-24$» — строгое $>$; это влияет на то, включаются ли граничные значения параметра в ответ.

На что обратить внимание на экзамене

• Сразу нарисуйте эскиз графика функции при раскрытом модуле — это помогает увидеть, где искать максимум, а где минимум, ещё до вычислений.
• Проверяйте формулу $M(a)$ на простом значении параметра (обычно $a=0$), подставляя его прямо в исходную функцию и находя экстремум напрямую — это быстрый способ обнаружить ошибку.
• Обращайте внимание на симметрию: если функция при $a=0$ чётная, это часто подсказывает, что итоговая формула $M(a)$ будет содержать $|a|$.
• Не забывайте про строгость неравенства в условии — от неё зависит, входят ли граничные точки в ответ.
• Если получаются два способа решения (алгебраический через сравнение кандидатов и геометрический через касание прямой и параболы), после решения полезно быстро прикинуть ответ вторым способом для самопроверки, если время позволяет.
• Проверяйте ответ на границах интервала, подставляя граничное значение параметра в неравенство — оно должно превращаться в равенство, а не в строгое неравенство того же знака.
• Следите за точностью алгебраических преобразований при работе с квадратными корнями — в задачах этого типа они часто входят в окончательный ответ.