Задача 485938: Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции [f левая круглая скобка x правая круглая скобк

Question

Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка =4ax плюс \left| x в квадрате минус 6x . плюс 5 |$

больше, чем $минус 24.$

Accepted Answer

Ответ: [\a принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 3 минус корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 3 плюс корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .] Приведём другое решение.При [x в квадрате минус 6x плюс 5 меньше или равно 0,] то есть на отрезке [левая квадратная скобка 1; 5 правая квадратная скобка] функция имеет вид [f левая круглая скобка x правая круглая скобка =4ax минус левая круглая скобка x в квадрате минус 6x плюс 5 правая круглая скобка = минус x в квадрате плюс 2 левая круглая скобка 2a плюс 3 правая круглая скобка x минус 5,] а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз. Вне отрезка [левая квадратная скобка 1; 5 правая квадратная скобка] функция имеет вид [f левая круглая скобка x правая круглая скобка =4ax плюс левая круглая скобка x в квадрате минус 6x плюс 5 правая круглая скобка =x в квадрате плюс 2 левая круглая скобка 2a минус 3 правая круглая скобка x плюс 5,] а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии [x=3 минус 2a.] Следовательно, наименьшее значение функция [f левая круглая скобка x правая круглая скобка] может принять только в точках [x=1,] [x=5] или [x=3 минус 2a.] Поэтому наименьшее значение функции [f левая круглая скобка x правая круглая скобка] больше −24 тогда и только тогда, когда [f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка больше минус 24,] [f левая круглая скобка 5 правая круглая скобка больше минус 24] и [f левая круглая скобка 3 минус 2a правая круглая скобка больше минус 24.] Имеем: [система выражений 4a больше минус 24, 20a больше минус 24, |2a минус 3| меньше корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента конец системы . равносильно система выражений a больше минус 6, a больше минус дробь: числитель: 24, знаменатель: 20 конец дроби , дробь: числитель: 3 минус корень из: начало аргумента: 29, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2 меньше a меньше дробь: числитель: 3 плюс корень из: начало аргумента: 29, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2, конец системы . равносильно дробь: числитель: 3 минус корень из: начало аргумента: 29, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2 меньше a меньше дробь: числитель: 3 плюс корень из: начало аргумента: 29, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2.] [рисунок] Приведём ещё одно решение.Заданная функция непрерывна и на бесконечностях стремится к плюс бесконечности. Следовательно, она достигает своего наименьшего значения. Наименьшее значение больше −24 тогда и только тогда, когда все значения функции больше −24. Поэтому необходимо и достаточно найти такие значения параметра, при которых неравенство [4ax плюс |x в квадрате минус 6x плюс 5| больше минус 24] верно для всех х. Положим [k = минус 4a] и запишем неравенство в виде [|x в квадрате минус 6x плюс 5| больше kx минус 24.] Определим значения k, при которых график левой части неравенства лежит выше графика правой части. График правой части — прямая с угловым коэффициентом k, проходящая через точку (0; −24). График левой части неравенства вне отрезка [1; 5] совпадает с параболой [y= x в квадрате минус 6x плюс 5,] а на этом отрезке является отражением лежащей ниже оси абсцисс части этой параболы в верхнюю полуплоскость (см. рис.).Найдем значения параметра, соответствующие касанию прямой [у= kx минус 24] и параболы [y= x в квадрате минус 6x плюс 5.] Для этого приравняем к нулю дискриминант квадратного уравнения [x в квадрате минус левая круглая скобка 6 плюс k правая круглая скобка x плюс 29=0:] [левая круглая скобка 6 плюс k правая круглая скобка в квадрате минус 4 умножить на 29 = 0 равносильно k в квадрате плюс 12 k минус 80=0 равносильно k = минус 6 \pm 2 корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента .] Покажем, что при [k_1 = минус 6 плюс 2 корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента] касание происходит именно с графиком функции [y = |x в квадрате минус 6x плюс 5|,] а не с лежащей ниже оси абсцисс частью параболы [y = x в квадрате минус 6x плюс 5.] Рассмотрим прямую p, проходящую через точки с координатами (0; −24) и (5; 0). Определим ее угловой коэффициент: [k_2 = дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 конец дроби .] Сравним угловые коэффициенты k1 и k2: [минус 6 плюс 2 корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента меньше дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 конец дроби равносильно минус 30 плюс 10 корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента меньше 24 равносильно 5 корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента меньше 27 равносильно] [равносильно 25 умножить на 29 меньше 27 в квадрате равносильно левая круглая скобка 27 минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 27 плюс 2 правая круглая скобка меньше 27 в квадрате равносильно 27 в квадрате минус 4 меньше 27 в квадрате .] [минус 6 плюс 2 корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента меньше дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 конец дроби равносильно минус 30 плюс 10 корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента меньше 24 равносильно] [равносильно 5 корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента меньше 27 равносильно 25 умножить на 29 меньше 27 в квадрате равносильно] [равносильно левая круглая скобка 27 минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 27 плюс 2 правая круглая скобка меньше 27 в квадрате равносильно 27 в квадрате минус 4 меньше 27 в квадрате .] Следовательно, [k_2 меньше k_1,] а потому справа от общей точки (0; −24) касательная проходит ниже прямой p и, значит, касается параболы в точке лежащей выше оси абсцисс. Тем самым подходят все значения k такие, что: [минус 6 минус 2 корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента меньше k меньше минус 6 плюс 2 корень из: начало аргумента: 29 конец аргумента .] Возвращаясь к параметру a, получаем: [дробь: числитель: 3 минус корень из: начало аргумента: 29, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2 меньше a меньше дробь: числитель: 3 плюс корень из: начало аргумента: 29, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2.]

Задача 485938. Функции, зависящие от параметра

Ещё задачи этой подтемы