Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Вписанные окружности и четырехугольники

Пусть в треугольнике $ABC$ боковые стороны $AB=BC=5$, основание $AC=8$, угол при вершине $B$ — тупой. Высота $AH$ опущена на продолжение боковой стороны $BC$ за точку $C$.

а) В треугольниках $AMH$ и $AKH$ углы при $M$ и $K$ прямые, а гипотенуза $AH$ у них общая. Значит обе точки $M$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $AH$ (по теореме о вписанном угле, опирающемся на диаметр). Тогда четырёхугольник $AMHK$ вписан в эту окружность.

Пусть $\angle BCA=\alpha$. Так как $AH\perp BC$, из прямоугольного треугольника $ACH$ получаем $\angle AHM=90^\circ-\angle HAM=\alpha$ (угол между высотой и стороной, опирающейся на общий острый угол). Так как $ABС$ — равнобедренный, $\angle ABC=180^\circ-2\alpha$, а $\angle ABH$ — смежный ему угол, поэтому $\angle ABH=2\alpha$, и, соответственно, вписанный угол $\angle AHK=2\alpha$ (опирается на ту же дугу, что и $\angle ABH$... точнее на дугу $AK$).

Отсюда $\angle MHK=\angle AHK-\angle AHM=2\alpha-\alpha=\alpha$. Но вписанный угол $\angle MAK$ опирается на ту же дугу $MK$, что и $\angle MHK$, поэтому $\angle MAK=\angle MHK=\alpha$. Аналогично $\angle MKA=\alpha$ (оба опираются на равные дуги). Получаем, что в треугольнике $AMK$ углы при $A$ и $K$ равны, значит он равнобедренный: $AM=MK$. Что и требовалось доказать.

б) По теореме косинусов для треугольника $ABC$ (стороны $AB=BC=5$, $AC=8$): $$\cos\angle BCA=\frac{BC^2+AC^2-AB^2}{2\cdot BC\cdot AC}=\frac{25+64-25}{80}=\frac{4}{5}.$$ Тогда по основному тригонометрическому тождеству $\sin\angle BCA=\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=\frac35$.

В прямоугольном треугольнике $ACH$ (прямой угол при $H$) угол при вершине $C$ равен $\angle BCA$ (или его смежному, синус одинаков), поэтому $$AH=AC\cdot\sin\angle BCA=8\cdot\frac35=\frac{24}{5}.$$

Из доказанного в пункте а) $\angle AHM=\alpha=\angle BCA$, и в прямоугольном треугольнике $AMH$ (угол при $M$ прямой): $$AM=AH\cdot\sin\angle AHM=\frac{24}{5}\cdot\frac35=\frac{72}{25}.$$

Поскольку $MK=AM$, получаем $MK=\dfrac{72}{25}=2{,}88$.