Четырёхугольники и их свойства для ОГЭ

Коротко о главном

Четырёхугольник — фигура с 4 сторонами и 4 вершинами. Сумма его углов всегда равна $360°$. На ОГЭ важны пять видов: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и трапеция. Каждый обладает набором свойств про стороны, углы, диагонали и площадь — их нужно знать наизусть и уметь применять в задачах на доказательство и вычисление.

Определения и формулы

Фигура	Определение	Ключевые свойства	Площадь
Параллелограмм	Противоположные стороны параллельны	$a=c,\ b=d$; противолежащие углы равны; диагонали делятся точкой пересечения пополам	$S=a\cdot h$
Прямоугольник	Параллелограмм с прямыми углами	Все углы $90°$; диагонали равны	$S=a\cdot b$
Ромб	Параллелограмм с равными сторонами	Все стороны равны; диагонали перпендикулярны и делят углы пополам	$S=\dfrac{d_1 d_2}{2}$
Квадрат	Прямоугольник с равными сторонами	Все свойства ромба и прямоугольника	$S=a^2$
Трапеция	Только одна пара сторон параллельна	$a,\ b$ — основания, $m$ — средняя линия: $m=\dfrac{a+b}{2}$	$S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h$

Признаки параллелограмма (достаточно одного условия):

• обе пары противоположных сторон равны;
• диагонали делятся точкой пересечения пополам;
• одна пара сторон равна и параллельна.

Свойства диагоналей:

• в параллелограмме — делятся пополам;
• в прямоугольнике — равны и делятся пополам;
• в ромбе — перпендикулярны, делятся пополам, являются биссектрисами углов;
• в квадрате — все перечисленные свойства сразу.

Сумма углов любого четырёхугольника: $\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360°$.

Как применять

Пример 1 (задание 19–23). В параллелограмме $ABCD$ угол $A=70°$. Найдите угол $C$. Противолежащие углы параллелограмма равны, значит $\angle C=\angle A=70°$.

Пример 2 (задание 24). Диагонали ромба равны $6$ см и $8$ см. Найдите площадь. $$S=\dfrac{d_1 d_2}{2}=\dfrac{6\cdot 8}{2}=24\text{ см}^2$$

Пример 3 (задание 17). В трапеции основания $12$ см и $8$ см. Найдите среднюю линию. $$m=\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{12+8}{2}=10\text{ см}$$

Типичные ошибки

• Считают, что диагонали параллелограмма равны — это верно только для прямоугольника.
• Путают свойство «диагонали перпендикулярны» — оно есть только у ромба и квадрата, но не у прямоугольника и произвольного параллелограмма.
• Применяют формулу площади прямоугольника $S=ab$ к параллелограмму без учёта высоты — нужна именно высота, а не боковая сторона.
• Забывают, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме, а не полусумме боковых сторон.
• В задачах на доказательство не указывают, какой именно признак параллелограмма (или другой фигуры) использован — теряют баллы за обоснование.

Где встречается на экзамене

• Задание 17 — задачи на вычисление сторон, углов, средней линии, часто с использованием теоремы Пифагора.
• Задание 19 — утверждения о свойствах четырёхугольников (верно/неверно), требуют точного знания признаков и свойств.
• Задание 23 — доказательство свойств фигуры (например, что четырёхугольник — параллелограмм или ромб) с полным обоснованием.
• Задание 24 — комбинированные задачи на нахождение площади, периметра или других величин с применением нескольких свойств одновременно.