Тригонометрические формулы для ЕГЭ профиль

Коротко о главном

Тригонометрия на ЕГЭ проверяется в трёх местах: №6 (планиметрия, теорема синусов/косинусов), №7 (исследование функций, часто $y=\sin x$ или $y=\cos x$) и №13 (тригонометрические уравнения). Успех зависит от твёрдого знания базовых тождеств, формул приведения и умения переходить от суммы углов к произведению и обратно.

Определения и формулы

Основные определения (единичная окружность): $$\sin\alpha = y,\quad \cos\alpha = x,\quad \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\quad \cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$$

Основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$

Группа	Формула
Тангенс-котангенс	$\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1$
Двойной угол	$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
Двойной угол	$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$
Сумма аргументов	$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$
Сумма аргументов	$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$
Сумма функций	$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
Разность функций	$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

Формулы приведения — правило: если угол вида $\frac{\pi}{2}\pm\alpha$ или $\pi\pm\alpha$, функция может менять название (синус↔косинус) при нечётной четверти $\pi/2$, знак определяется по четверти исходного угла.

Примеры: $$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,\quad \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$$ $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha,\quad \cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha$$

Теорема синусов и косинусов (для №6): $$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$ $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$

Решение простейших уравнений: $$\sin x=a \Rightarrow x=(-1)^n\arcsin a+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$ $$\cos x=a \Rightarrow x=\pm\arccos a+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$ $$\tan x=a \Rightarrow x=\arctan a+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

Как применять

Пример 1 (упростить выражение, №6–7). Упростить: $\dfrac{\sin2\alpha}{1+\cos2\alpha}$. Используем $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ и $1+\cos2\alpha=2\cos^2\alpha$: $$\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha}=\tan\alpha$$

Пример 2 (треугольник, №6). В треугольнике $a=6$, $b=8$, угол между ними $C=60°$. Найти $c$. $$c^2=6^2+8^2-2\cdot6\cdot8\cdot\cos60°=36+64-96\cdot0{,}5=52$$ $$c=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$$

Пример 3 (уравнение, №13). Решить $2\sin^2x-3\sin x+1=0$ на отрезке $[0;\ 2\pi]$. Замена $t=\sin x$: $2t^2-3t+1=0 \Rightarrow t_1=1,\ t_2=0{,}5$. При $t=1$: $x=\dfrac{\pi}{2}$. При $t=0{,}5$: $x=\dfrac{\pi}{6}$ или $x=\dfrac{5\pi}{6}$. Ответ: $x\in\left\{\dfrac{\pi}{6};\ \dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{5\pi}{6}\right\}$.

Типичные ошибки

• Путают знак в формулах приведения — не проверяют, в какой четверти находится исходный угол.
• Забывают про период при записи общего решения уравнения (например, теряют $+2\pi n$ у косинуса).
• При отборе корней на отрезке забывают проверить область определения (например, знаменатель $\cos x\neq0$ в уравнениях с тангенсом).
• Путают формулу двойного угла косинуса: подставляют не ту версию ($\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$ вместо $2\cos^2\alpha-1$), что приводит к ошибкам при упрощении.
• В задачах на треугольник забывают, что теорема косинусов работает и для тупоугольных треугольников — не учитывают знак косинуса.

Где встречается на экзамене

• №6 — планиметрия: теорема синусов, теорема косинусов, площадь треугольника через синус угла $S=\frac12 ab\sin C$.
• №7 — исследование функции: производные тригонометрических функций, экстремумы $y=\sin x$, $y=\cos x$, чтение графика.
• №13 — тригонометрические уравнения: сведение к квадратному через замену, использование формул суммы/произведения, отбор корней на заданном отрезке.