Свойства степеней и корней — справочник для ЕГЭ (база)

Коротко о главном

Степень — это сокращённая запись умножения одинаковых множителей, корень — операция, обратная возведению в степень. Все свойства степеней работают только при одинаковых основаниях (кроме возведения произведения/частного в степень). Корень чётной степени берётся только от неотрицательного числа.

Определения и формулы/правила

Основные определения:

$$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ раз}}, \quad a^0 = 1 \ (a \neq 0), \quad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \ (a \neq 0)$$

$$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}, \quad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$$

Свойство	Формула	Условие
Умножение степеней	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$a \neq 0$
Деление степеней	$a^m : a^n = a^{m-n}$	$a \neq 0$
Степень степени	$(a^m)^n = a^{mn}$	—
Степень произведения	$(ab)^n = a^n b^n$	—
Степень частного	$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$	$b \neq 0$
Отрицательный показатель	$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$	$a \neq 0$

Свойства корней:

Свойство	Формула	Условие
Корень произведения	$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$	$a, b \geq 0$ (если $n$ чётное)
Корень частного	$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$	$a \geq 0, b > 0$
Корень из степени	$\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$	$a \geq 0$
Степень корня	$(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$	$a \geq 0$
Корень из корня	$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$	$a \geq 0$
Квадратный корень из квадрата	$\sqrt{a^2} = |a|$	для любого $a$

Как применять

Пример 1. Вычислить $\dfrac{2^5 \cdot 2^3}{2^6}$.

Складываем показатели в числителе, вычитаем показатель знаменателя: $$\frac{2^{5+3}}{2^6} = \frac{2^8}{2^6} = 2^{8-6} = 2^2 = 4$$

Пример 2. Упростить $\sqrt{50} - \sqrt{18}$.

Выделяем квадратные множители: $$\sqrt{25 \cdot 2} - \sqrt{9 \cdot 2} = 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$

Пример 3. Вычислить $27^{2/3}$.

Переводим в корень: $$27^{2/3} = \sqrt[3]{27^2} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$$

Типичные ошибки

• Складывают степени при разных основаниях: $2^3 + 3^2 \neq 5^5$ — свойства работают только при одинаковых основаниях.
• Путают $\sqrt{a^2}$ и $a$: правильно $\sqrt{a^2} = |a|$, а не просто $a$ (важно при $a<0$).
• Неверно раскрывают корень из суммы: $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ — так делать нельзя, это не свойство.
• Забывают про область определения: чётный корень не берётся из отрицательного числа, а $a^{-n}$ не определена при $a=0$.
• Ошибка в знаке показателя: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$, а не $-a^n$.

Где встречается на экзамене

• Задание 4 — вычисление значений выражений со степенями и корнями (часто нужно быстро свернуть/развернуть степень).
• Задание 16 — практические задачи, где степени встречаются в формулах роста, объёма, площади (например, вычисление процентов или геометрических величин).
• Задание 19 — задачи на числа и их свойства, где может потребоваться сравнение степеней или преобразование выражений с корнями для оценки величины.