Задание 4 ЕГЭ база: формулы с несколькими переменными

Что проверяет задание

Задание 4 базового ЕГЭ проверяет умение работать с формулами, в которых участвуют несколько переменных. Тебе даётся физическая, геометрическая или бытовая формула, известны значения почти всех величин, а найти нужно одну неизвестную. По сути, это задача на подстановку чисел в формулу и последующее решение простого уравнения относительно искомой переменной.

Здесь не требуется знание сложной теории — формула всегда дана в условии. Проверяется аккуратность вычислений, умение выразить нужную переменную и не запутаться в единицах измерения и порядке действий.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка звучит так: «Величина X вычисляется по формуле $X = \dots$, где перечисляются все буквы и что они означают. Пользуясь этой формулой, найдите значение переменной Y, если известны такие-то числовые данные».

Задание оценивается в 1 балл. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, которую нужно вписать в бланк без единиц измерения, без пробелов и лишних символов. Времени на это задание уходит немного, поэтому важно не терять баллы на невнимательности.

Что нужно знать

Для уверенного решения нужно держать в голове базовый набор фактов:

• Формула площади треугольника через радиус вписанной окружности: $S = \dfrac{(a+b+c)\,r}{2}$, где $a, b, c$ — стороны, $r$ — радиус вписанной окружности.
• Формула площади треугольника через радиус описанной окружности: $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $R$ — радиус описанной окружности.
• Формула количества теплоты: $Q = cm(t_2 - t_1)$, где $c$ — удельная теплоёмкость, $m$ — масса, $t_1$ и $t_2$ — начальная и конечная температуры.
• Правила преобразования равенств: к обеим частям уравнения можно прибавлять одно и то же число, обе части можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число — равенство при этом сохраняется.
• Порядок действий: сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
• Работа с дробями: чтобы избавиться от знаменателя, обе части уравнения умножают на этот знаменатель.
• Проверка знака и правдоподобности ответа: длина стороны, масса, температура по Кельвину не могут быть отрицательными — это помогает заметить ошибку.

Все конкретные формулы (физические, геометрические, экономические) даются в самом условии задания, поэтому зубрить их наизусть не обязательно — важно уметь ими пользоваться.

Методы решения

Метод 1. Прямая подстановка (формулы с одной-двумя переменными). Если искомая переменная уже стоит одна в одной части формулы, достаточно подставить известные числа и посчитать.

Пример: $v = \dfrac{s}{t}$, дано $s = 120$, $t = 3$. Тогда $v = \dfrac{120}{3} = 40$.

Метод 2. Подстановка с последующим решением линейного уравнения (формулы с двумя-тремя переменными). Если искомая переменная входит в формулу не в чистом виде, сначала подставляют все известные числа, получают уравнение с одной неизвестной, а затем решают его — переносят слагаемые, делят на коэффициент.

Пример: $Q = cm(t_2-t_1)$, известны $Q, c, m, t_1$, найти $t_2$. Подставляем числа, получаем $Q = cm \cdot t_2 - cm \cdot t_1$, выражаем $t_2 = \dfrac{Q}{cm} + t_1$.

Метод 3. Умножение обеих частей на знаменатель (формулы с дробью). Если неизвестная стоит в знаменателе или формула содержит дробь целиком, сначала избавляются от знаменателя умножением обеих частей равенства на него.

Пример: $S = \dfrac{abc}{4R}$, найти $b$. Умножаем обе части на $4R$: $4RS = abc$, откуда $b = \dfrac{4RS}{ac}$.

Метод 4. Раскрытие скобок при трёх и более переменных. Когда искомая переменная стоит внутри скобки вместе с другой величиной (как в формуле теплоты), удобно сначала выразить всю скобку целиком, а потом уже находить отдельную переменную внутри неё.

Пример: $S = \dfrac{(a+b+c)r}{2}$, найти $c$. Сначала выражаем сумму $(a+b+c) = \dfrac{2S}{r}$, затем $c = \dfrac{2S}{r} - a - b$.

Метод 5. Последовательное «раздевание» переменной (формулы с большим числом переменных). Если переменных много и они связаны несколькими операциями подряд (умножение, деление, вычитание), действуют по принципу обратных операций: выполняют шаги в порядке, обратном тому, в котором строилась формула, — сначала «снимают» внешние операции, потом внутренние.

Пример: $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^2}$, найти $m_2$, если известны остальные величины. Умножаем обе части на $r^2$: $Fr^2 = Gm_1m_2$. Делим на $Gm_1$: $m_2 = \dfrac{Fr^2}{Gm_1}$.

Алгоритм решения по шагам

1. Прочитать условие и выписать формулу отдельно, чётко определив, что означает каждая буква.
2. Выписать все данные числовые значения рядом с соответствующими буквами.
3. Определить, какую переменную нужно найти, и посмотреть, как она расположена в формуле — сама по себе, внутри скобки, в числителе или знаменателе дроби.
4. Подставить известные числа в формулу, оставив искомую переменную в виде буквы.
5. Преобразовать получившееся равенство: если есть дробь — умножить обе части на знаменатель; если есть скобки — раскрыть их или сначала найти значение всей скобки; если переменная умножается на число — разделить обе части на это число.
6. Выполнить вычисления пошагово, не пропуская промежуточные действия, особенно со знаками.
7. Проверить полученный ответ на правдоподобность: длина, масса, время, площадь не могут быть отрицательными; подставить найденное значение обратно в исходную формулу и убедиться, что равенство выполняется.
8. Записать ответ в требуемом формате — целое число или десятичная дробь без единиц измерения.

Разбор примеров

Пример 1.

Условие: площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \dfrac{(a+b+c)r}{2}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности. Найти $c$, если $S = 24$, $a = 8$, $b = 6$, $r = 2$.

Шаг 1. Записываем формулу: $S = \dfrac{(a+b+c)r}{2}$.

Шаг 2. Подставляем известные числа: $24 = \dfrac{(8+6+c)\cdot 2}{2}$.

Шаг 3. Упрощаем правую часть — двойка в числителе сокращается с двойкой в знаменателе: $24 = 8 + 6 + c$.

Шаг 4. Складываем известные слагаемые: $24 = 14 + c$.

Шаг 5. Выражаем $c$: $c = 24 - 14 = 10$.

Шаг 6. Проверка: подставляем $c=10$ в исходную формулу — $\dfrac{(8+6+10)\cdot 2}{2} = \dfrac{24\cdot 2}{2} = 24$. Совпадает с данным значением площади.

Ответ: 10.

Пример 2.

Условие: количество теплоты вычисляется по формуле $Q = cm(t_2 - t_1)$, где $c$ — удельная теплоёмкость, $m$ — масса, $t_1$, $t_2$ — начальная и конечная температуры. Найти $Q$, если $t_2 = 366$, $c = 500$, $m = 4$, $t_1 = 359$.

Шаг 1. Записываем формулу: $Q = cm(t_2 - t_1)$.

Шаг 2. Находим разность температур: $t_2 - t_1 = 366 - 359 = 7$.

Шаг 3. Подставляем все значения: $Q = 500 \cdot 4 \cdot 7$.

Шаг 4. Считаем произведение по шагам: $500 \cdot 4 = 2000$, затем $2000 \cdot 7 = 14000$.

Шаг 5. Проверка: единицы теплоёмкости — джоуль на (кг·кельвин), умножаем на массу в кг и разность температур в кельвинах — кельвины и килограммы сокращаются, остаются джоули, что соответствует искомой величине.

Ответ: 14000.

Пример 3.

Условие: площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a, b, c$ — стороны, $R$ — радиус описанной окружности. Найти $b$, если $a = 12$, $c = 13$, $S = 30$, $R = \dfrac{13}{2}$.

Шаг 1. Записываем формулу: $S = \dfrac{abc}{4R}$.

Шаг 2. Подставляем известные числа: $30 = \dfrac{12 \cdot b \cdot 13}{4 \cdot \frac{13}{2}}$.

Шаг 3. Упрощаем знаменатель: $4 \cdot \dfrac{13}{2} = 2 \cdot 13 = 26$.

Шаг 4. Получаем: $30 = \dfrac{156b}{26}$, поскольку $12 \cdot 13 = 156$.

Шаг 5. Упрощаем дробь: $\dfrac{156}{26} = 6$, значит $30 = 6b$.

Шаг 6. Находим $b$: $b = \dfrac{30}{6} = 5$.

Шаг 7. Проверка: подставляем $b=5$ в исходную формулу — $\dfrac{12 \cdot 5 \cdot 13}{4 \cdot 6{,}5} = \dfrac{780}{26} = 30$. Совпадает с данным значением площади.

Ответ: 5.

Типичные ошибки и ловушки

• Перепутать, какая буква что означает. Особенно легко перепутать стороны треугольника или начальную и конечную температуру — внимательно читай, кто есть кто, прежде чем подставлять числа.
• Ошибка при работе со скобками. Забывают, что скобка означает единое целое: например, в формуле теплоты сначала нужно найти разность температур, а не умножать теплоёмкость по отдельности на $t_2$ и $t_1$ без учёта скобки.
• Неверное сокращение дробей. При упрощении выражений вида $\dfrac{156b}{26}$ полезно сначала сократить числа, а не переносить громоздкую дробь целиком — это снижает риск арифметической ошибки.
• Забытые единицы или лишние символы в ответе. В бланк вписывается только число, без единиц измерения, без пробелов, дробная часть — через запятую или точку в зависимости от формы ответа, но чаще всего требуется именно число.
• Неправильный порядок действий. Умножение и деление выполняются раньше сложения и вычитания, если нет скобок, — сбой в порядке действий сразу даёт неверный ответ.
• Игнорирование проверки. Многие не подставляют найденный ответ обратно в формулу, из-за чего пропускают арифметические ошибки, которые легко обнаружить при обратной подстановке.
• Путаница со знаком при переносе слагаемых. При переносе слагаемого через знак равенства его знак меняется на противоположный — забывание этого правила приводит к ошибке в четверти случаев.

Как готовиться

Лучший способ подготовки — прорешать как можно больше однотипных задач с разными формулами: геометрическими (площадь, периметр, объём), физическими (скорость, работа, теплота, сила) и практическими (проценты, стоимость, расход материалов). Важно не запоминать конкретные числа, а отработать сам алгоритм — подстановка, упрощение, выражение неизвестной.

Полезно завести отдельный список формул, которые чаще всего встречаются в вариантах, и потренироваться выражать из каждой формулы поочерёдно все переменные — это снимает страх перед незнакомой буквенной записью на экзамене. Также стоит регулярно решать задачи на скорость счёта, чтобы сократить время выполнения этого лёгкого задания и оставить больше времени на сложные номера.

При тренировке обязательно проверяй ответы обратной подстановкой — это вырабатывает привычку самоконтроля, которая пригодится не только в этом задании, но и во всей остальной части экзамена.