Задание 19 ЕГЭ база: цифровая запись числа — разбор и алгоритм решения

Что проверяет задание

Задание 19 базового ЕГЭ по математике проверяет умение работать с десятичной записью чисел: понимать, что каждая цифра занимает определённый разряд, применять признаки делимости, находить сумму, произведение и среднее арифметическое цифр, а также решать задачи на подбор чисел с несколькими одновременными условиями — делимость, остатки, свойства цифр. Это задание на логику и системный перебор, а не на сложные вычисления.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Формулировка обычно текстовая, без формул: «Приведите пример...», «Найдите число...», «В ответе укажите какое-нибудь одно такое число». Условие часто включает несколько требований одновременно: диапазон числа, делимость на определённое число, соотношение остатков, соотношение цифр (сумма, произведение, среднее арифметическое). Задание оценивается в 1 балл, засчитывается любой верный вариант ответа, если в условии не сказано «все такие числа». Ответ вводится как число без пробелов и знаков.

Что нужно знать

• Позиционная запись: $\overline{a_n a_{n-1}\dots a_1 a_0} = a_n\cdot10^n + a_{n-1}\cdot10^{n-1}+\dots+a_1\cdot10+a_0$
• Трёхзначное число: $\overline{abc}=100a+10b+c$, где $a\in\{1,\dots,9\}$, $b,c\in\{0,\dots,9\}$
• Четырёхзначное число: $\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$, $a\in\{1,\dots,9\}$
• Деление с остатком: $N = bq+r$, $0\le r<b$
• Признак делимости на 2: последняя цифра чётная
• Признак делимости на 3: сумма цифр делится на 3
• Признак делимости на 5: последняя цифра 0 или 5
• Признак делимости на 6: число делится и на 2, и на 3
• Признак делимости на 9: сумма цифр делится на 9
• Признак делимости на 11: разность суммы цифр на нечётных и чётных позициях делится на 11
• Признак делимости на 22: число делится и на 2, и на 11
• Квадрат цифры по модулю 3: если цифра делится на 3, квадрат делится на 3 и на 9; иначе квадрат $\equiv1\pmod3$
• Среднее арифметическое двух цифр $a,b$: $\dfrac{a+b}{2}$

Методы решения

1. Метод разложения по разрядам

Записать число через его цифры в общем виде и превратить словесное условие в уравнение. Пример: «сумма цифр трёхзначного числа равна 15» превращается в $a+b+c=15$.

2. Метод признаков делимости

Использовать готовые признаки, чтобы сузить перебор цифр. Пример: число делится на 6 — значит последняя цифра чётная и сумма цифр делится на 3.

3. Метод остатков (сравнения по модулю)

Если условие говорит про равные остатки при делении на разные числа, переходят к общему модулю через НОК. Пример: остатки при делении на 4 и на 6 равны — тогда число минус остаток делится на $\mathrm{НОК}(4,6)=12$.

4. Метод целевого перебора с ограничениями

Когда условий несколько (сумма, произведение, делимость), сначала находят все комбинации цифр по самому жёсткому условию, затем проверяют остальные. Пример: произведение цифр четырёхзначного числа равно 24 — перечисляют наборы цифр с таким произведением, затем проверяют делимость.

5. Метод анализа по модулю 3 для квадратов цифр

Полезен, когда речь о сумме квадратов цифр и делимости на 3 или 9. Пример: если все цифры не делятся на 3, сумма квадратов трёх цифр делится на 3, но не обязательно на 9.

Алгоритм решения по шагам

1. Перевести словесное условие в математическую запись с буквами-цифрами.
2. Определить разрядность числа и ограничения на первую цифру.
3. Выделить условия делимости и применить соответствующие признаки.
4. Если есть условия на остатки, свести их к одному модулю через НОК.
5. Учесть дополнительные числовые условия — сумму, произведение, среднее арифметическое цифр.
6. Подобрать конкретные цифры перебором в рамках оставшихся ограничений.
7. Проверить полученное число по всем условиям задачи.
8. Записать окончательный ответ.

Разбор примеров

Пример 1

Условие: приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9.

Шаг 1. Обозначим число $\overline{abc}$, где $a\in\{1,\dots,9\}$, $b,c\in\{0,\dots,9\}$. Условие: $a+b+c=20$.

Шаг 2. Для любой цифры $d$: если $d\equiv0\pmod3$, то $d^2\equiv0\pmod9$ (так как $d=3k$, $d^2=9k^2$); если $d\not\equiv0\pmod3$, то $d^2\equiv1\pmod3$.

Шаг 3. Сумма квадратов трёх цифр по модулю 3 равна количеству цифр, не делящихся на 3, взятому по модулю 3. Чтобы сумма делилась на 3, но не на 9, нужно, чтобы все три цифры не делились на 3 — тогда сумма квадратов $\equiv3\equiv0\pmod3$, но необязательно $\equiv0\pmod9$.

Шаг 4. Подберём цифры с суммой 20, каждая не кратна 3: $a=5,b=7,c=8$ — все не делятся на 3, сумма $5+7+8=20$.

Шаг 5. Проверка: $5^2+7^2+8^2=25+49+64=138$. Число $138$ делится на 3 ($138:3=46$), но не делится на 9 ($138:9\approx15{,}33$). Все условия выполнены.

Ответ: $578$ (также подходят перестановки $587,758,785,857,875$).

Пример 2

Условие: найдите трёхзначное натуральное число больше 400, которое при делении на 6 и на 5 даёт равные ненулевые остатки, и первая слева цифра которого — среднее арифметическое двух других цифр.

Шаг 1. Пусть $N$ при делении на 6 и на 5 даёт одинаковый остаток $r$, $r\ne0$. Так как остаток при делении на 5 меньше 5, то $r\in\{1,2,3,4\}$.

Шаг 2. $N-r$ делится и на 6, и на 5, а $\mathrm{НОК}(6,5)=30$, значит $N-r$ делится на 30, то есть $N=30k+r$.

Шаг 3. Нужно $N>400$ и трёхзначность числа.

Шаг 4. Возьмём $k=15$: $30\cdot15=450$, добавим $r=3$: $N=453$. Проверка: $453>400$ — подходит.

Шаг 5. Проверка остатков: $453=6\cdot75+3$, остаток 3; $453=5\cdot90+3$, остаток 3. Остатки равны и не равны нулю.

Шаг 6. Цифры числа: $4,5,3$. Первая цифра $4$ должна быть средним арифметическим двух других: $\dfrac{5+3}{2}=4$. Условие выполнено.

Ответ: $453$ (также подходят $573$ и $693$).

Пример 3

Условие: найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 24.

Шаг 1. $22=2\cdot11$, значит число должно делиться и на 2, и на 11.

Шаг 2. Делимость на 2 означает, что последняя цифра чётная.

Шаг 3. Найдём набор из четырёх цифр без нулей с произведением 24: подходит набор $1,2,3,4$, так как $1\cdot2\cdot3\cdot4=24$.

Шаг 4. Нужно расставить эти цифры так, чтобы выполнялся признак делимости на 11 (разность суммы цифр на нечётных и чётных позициях делится на 11) и последняя цифра была чётной.

Шаг 5. Попробуем расстановку $2,1,3,4$: 1-я позиция $2$, 2-я $1$, 3-я $3$, 4-я $4$. Разность $(2+3)-(1+4)=5-5=0$ — делится на 11. Последняя цифра $4$ — чётная.

Шаг 6. Прямая проверка: $2134:22=97$, так как $97\cdot22=2134$ — делится без остатка.

Шаг 7. Произведение цифр: $2\cdot1\cdot3\cdot4=24$ — совпадает с условием.

Ответ: $2134$ (также подходят $4312$, $1342$, $3124$).

Типичные ошибки и ловушки

• Забывают, что первая цифра многозначного числа не может быть нулём.
• Путают условие «сумма цифр делится на X» с «число делится на X» — это разные утверждения, хотя иногда связаны через признаки делимости.
• При работе с остатками не учитывают, что общий остаток при делении на несколько чисел ограничен наименьшим из модулей.
• Забывают проверить итоговое число по всем условиям задачи, а не только по одному-двум.
• Тратят время на поиск всех решений, хотя задание требует лишь «какое-нибудь одно число».
• Ошибаются в признаке делимости на 11, путая порядок цифр или знак разности.
• Неверно вычисляют квадраты цифр или путают делимость суммы квадратов на 9 и на 3.

Как готовиться

Регулярно решать задачи на признаки делимости, деление с остатком и разложение чисел по разрядам, чтобы формулы вида $\overline{abc}=100a+10b+c$ стали автоматическими. Полезно вести таблицу признаков делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 22, 25 и тренироваться быстро переводить словесные условия в уравнения на цифры. При решении задач с несколькими условиями стоит сначала находить самое жёсткое ограничение — например, произведение цифр или диапазон числа — а затем проверять остальные условия на найденных вариантах, это экономит время. Важно нарабатывать навык быстрого перебора небольших наборов цифр и проверки готового числа сразу по всем условиям задания.