Задание 19: Числа и их свойства

Формулировка обычно текстовая, без формул: «Приведите пример...», «Найдите число...», «В ответе укажите какое-нибудь одно такое число». Условие часто включает несколько требований одновременно: диапазон числа, делимость на определённое число, соотношение остатков, соотношение цифр (сумма, произведение, среднее арифметическое). Задание оценивается в 1 балл, засчитывается любой верный вариант ответа, если в условии не сказано «все такие числа». Ответ вводится как число без пробелов и знаков.

• Позиционная запись: $\overline{a_n a_{n-1}\dots a_1 a_0} = a_n\cdot10^n + a_{n-1}\cdot10^{n-1}+\dots+a_1\cdot10+a_0$
• Трёхзначное число: $\overline{abc}=100a+10b+c$, где $a\in\{1,\dots,9\}$, $b,c\in\{0,\dots,9\}$
• Четырёхзначное число: $\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$, $a\in\{1,\dots,9\}$
• Деление с остатком: $N = bq+r$, $0\le r<b$
• Признак делимости на 2: последняя цифра чётная
• Признак делимости на 3: сумма цифр делится на 3
• Признак делимости на 5: последняя цифра 0 или 5
• Признак делимости на 6: число делится и на 2, и на 3
• Признак делимости на 9: сумма цифр делится на 9
• Признак делимости на 11: разность суммы цифр на нечётных и чётных позициях делится на 11
• Признак делимости на 22: число делится и на 2, и на 11
• Квадрат цифры по модулю 3: если цифра делится на 3, квадрат делится на 3 и на 9; иначе квадрат $\equiv1\pmod3$
• Среднее арифметическое двух цифр $a,b$: $\dfrac{a+b}{2}$

1. Перевести словесное условие в математическую запись с буквами-цифрами.
2. Определить разрядность числа и ограничения на первую цифру.
3. Выделить условия делимости и применить соответствующие признаки.
4. Если есть условия на остатки, свести их к одному модулю через НОК.
5. Учесть дополнительные числовые условия — сумму, произведение, среднее арифметическое цифр.
6. Подобрать конкретные цифры перебором в рамках оставшихся ограничений.
7. Проверить полученное число по всем условиям задачи.
8. Записать окончательный ответ.