Задание 16 ЕГЭ база: вычисление степеней, корней, логарифмов и тригонометрии

Что проверяет задание

Задание проверяет умение быстро и без калькулятора применять базовые алгебраические тождества для вычисления числового значения выражения. Проверяются пять смежных навыков: действия со степенями (в том числе с рациональными и отрицательными показателями), преобразование иррациональных выражений с корнями, работа со свойствами логарифмов, вычисление значений тригонометрических функций на табличных углах и упрощение тригонометрических выражений с помощью тождеств. Экзаменатор смотрит не на умение решать уравнения, а именно на технику преобразования готового числового выражения к простому виду.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка: «Найдите значение выражения...», после чего дана комбинация степеней, корней, логарифмов или тригонометрических функций с конкретными числовыми показателями. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, которую нужно вписать в бланк без единиц измерения и пояснений. Задание оценивается в 1 балл, время на него в среднем 2–4 минуты. Никаких промежуточных записей проверяющие не требуют — важен только итоговый числовой ответ, поэтому цена ошибки в знаке или показателе крайне высока.

Что нужно знать

Степени и их свойства

• $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
• $a^m : a^n = a^{m-n}$
• $(a^m)^n = a^{mn}$
• $(ab)^n = a^n \cdot b^n$
• $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$
• $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$, $a \neq 0$
• $a^0 = 1$, $a \neq 0$
• $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$, $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$

Корни и иррациональные выражения

• $\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$
• $\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$
• $\left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$
• $\sqrt{a^2} = |a|$
• для избавления от иррациональности в знаменателе умножают числитель и знаменатель на сопряжённое выражение

Логарифмы

• определение: $\log_a b = c \iff a^c = b$, при $a>0$, $a\neq 1$, $b>0$
• $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
• $\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$
• $\log_a x^p = p\log_a x$
• $\log_a a = 1$, $\log_a 1 = 0$
• формула перехода к новому основанию: $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$
• $a^{\log_a b} = b$

Тригонометрия

• основное тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
• $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, $\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$
• $1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$
• табличные значения для углов $0, \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{2}$
• формулы приведения: $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$, $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$, $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \cos\alpha$
• формулы суммы и разности: $\sin(\alpha\pm\beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$, $\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$

Методы решения

Метод 1. Приведение степеней к общему основанию. Если числа можно представить как степени одного и того же основания, сначала выполняют эту замену, а затем складывают или вычитают показатели. Мини-пример: вычислить $4^{1.5}\cdot 2^{-1}$. Записываем $4 = 2^2$, тогда $4^{1.5} = 2^3$, а всё выражение равно $2^3\cdot 2^{-1} = 2^2 = 4$.

Метод 2. Разложение подкоренного числа на множители. Для упрощения корней число под корнем разбивают на произведение множителей, среди которых есть точный квадрат, куб и так далее. Мини-пример: $\sqrt{75} = \sqrt{25\cdot 3} = 5\sqrt{3}$.

Метод 3. Сведение логарифмического выражения к одному логарифму. Сумму и разность логарифмов с одинаковым основанием объединяют в логарифм произведения или частного, после чего вычисляют результат через определение. Мини-пример: $\log_2 8 + \log_2 4 = \log_2(8\cdot 4) = \log_2 32 = 5$.

Метод 4. Использование табличных значений и формул приведения в тригонометрии. Угол, не входящий напрямую в таблицу, сводят к табличному через формулы приведения или период функции. Мини-пример: $\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = 0.5$.

Метод 5. Применение основного тригонометрического тождества. Если дано значение одной функции угла, вторую находят через тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, учитывая знак по четверти. Мини-пример: если $\sin\alpha = 0.6$ и угол в первой четверти, то $\cos\alpha = \sqrt{1-0.36} = 0.8$.

Алгоритм решения по шагам

1. Определить, какие операции присутствуют в выражении: степени, корни, логарифмы или тригонометрические функции.
2. Привести все числа к удобному виду — общему основанию для степеней, разложению на множители для корней, одинаковому основанию для логарифмов.
3. Применить соответствующие свойства (сложение или вычитание показателей, вынесение множителя из-под корня, объединение логарифмов, формулы приведения).
4. Упростить выражение до одного числа или простой дробной степени.
5. Выполнить финальное вычисление и записать ответ в требуемом виде — целое число или конечная дробь.
6. Проверить результат прикидкой: подставить приблизительные значения, чтобы убедиться в правдоподобности ответа.

Разбор примеров

Пример 1. Найдите значение выражения $5^{0.36}\cdot 25^{0.32}$.

Шаг 1. Приводим оба множителя к основанию 5: $25 = 5^2$, значит $25^{0.32} = 5^{0.64}$. Шаг 2. Выражение принимает вид $5^{0.36}\cdot 5^{0.64}$. Шаг 3. Складываем показатели по правилу умножения степеней: $0.36 + 0.64 = 1$. Шаг 4. Получаем $5^{1} = 5$.

Ответ: 5.

Пример 2. Найдите значение выражения $\dfrac{4^{3.5}\cdot 5^{2.5}}{20^{1.5}}$.

Шаг 1. Замечаем, что $20 = 4\cdot 5$, поэтому $20^{1.5} = 4^{1.5}\cdot 5^{1.5}$. Шаг 2. Подставляем в исходное выражение: $\dfrac{4^{3.5}\cdot 5^{2.5}}{4^{1.5}\cdot 5^{1.5}}$. Шаг 3. Разделяем степени с одинаковыми основаниями: $4^{3.5-1.5}\cdot 5^{2.5-1.5} = 4^{2}\cdot 5^{1}$. Шаг 4. Вычисляем: $4^2 = 16$, значит выражение равно $16\cdot 5 = 80$.

Ответ: 80.

Пример 3. Найдите значение выражения $\left(\dfrac{9^{1/3}\cdot 9^{1/4}}{\sqrt[12]{9}}\right)^3$.

Шаг 1. Переводим корень 12-й степени в степень: $\sqrt[12]{9} = 9^{1/12}$. Шаг 2. В числителе складываем показатели степеней с одинаковым основанием: $9^{1/3}\cdot 9^{1/4} = 9^{1/3+1/4}$. Приводим дроби к общему знаменателю 12: $\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{12}$, $\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$, сумма равна $\dfrac{7}{12}$. Шаг 3. Делим степени: $\dfrac{9^{7/12}}{9^{1/12}} = 9^{7/12 - 1/12} = 9^{6/12} = 9^{1/2}$. Шаг 4. $9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$. Шаг 5. Возводим результат в куб согласно внешней степени: $3^3 = 27$.

Ответ: 27.

Типичные ошибки и ловушки

• Складывают показатели степеней с разными основаниями, не приведя их к одному основанию заранее.
• Ошибаются в знаке при вычитании отрицательных показателей, особенно когда десятичные дробные показатели вычитаются друг из друга.
• Забывают, что чётный корень из квадрата даёт модуль: $\sqrt{a^2}=|a|$, а не просто $a$, если знак числа неизвестен.
• Объединяют логарифмы с разными основаниями без перехода к общему основанию через формулу замены.
• Применяют свойства логарифма суммы, полагая, что $\log_a(x+y) = \log_a x + \log_a y$ — такого свойства не существует, оно верно только для произведения.
• Путают табличные значения синуса и косинуса соседних углов, например значения для $30^\circ$ и $60^\circ$.
• Не учитывают знак тригонометрической функции в зависимости от четверти при использовании основного тождества.
• Допускают арифметические ошибки при переводе десятичных показателей в обычные дроби, что критично для дробно-рациональных степеней.

Как готовиться

Отработать таблицу степеней двойки, тройки, пятерки и десяти до пятого-шестого показателя, чтобы быстро узнавать числа вида 32, 81, 125, 625. Выучить наизусть таблицу значений тригонометрических функций для углов $0, 30, 45, 60, 90$ градусов и их радианных аналогов, а также формулы приведения для смежных и связанных углов. Регулярно тренироваться в переводе десятичных показателей степени в обычные дроби — это ускоряет приведение выражений к общему основанию. Решать по 5–7 разноплановых примеров каждый день, комбинируя степени, корни, логарифмы и тригонометрию, чтобы не терять навык переключения между темами. После каждого решённого примера проверять результат прикидкой значений или обратной подстановкой, чтобы вырабатывать привычку к самоконтролю. Полезно вести короткий список формул на одном листе и периодически повторять его перед практикой, пока применение свойств степеней и логарифмов не станет автоматическим.