Задание 16: Вычисления и преобразования

Типичная формулировка: «Найдите значение выражения...», после чего дана комбинация степеней, корней, логарифмов или тригонометрических функций с конкретными числовыми показателями. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, которую нужно вписать в бланк без единиц измерения и пояснений. Задание оценивается в 1 балл, время на него в среднем 2–4 минуты. Никаких промежуточных записей проверяющие не требуют — важен только итоговый числовой ответ, поэтому цена ошибки в знаке или показателе крайне высока.

Степени и их свойства

• $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
• $a^m : a^n = a^{m-n}$
• $(a^m)^n = a^{mn}$
• $(ab)^n = a^n \cdot b^n$
• $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$
• $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$, $a \neq 0$
• $a^0 = 1$, $a \neq 0$
• $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$, $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$

Корни и иррациональные выражения

• $\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$
• $\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$
• $\left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$
• $\sqrt{a^2} = |a|$
• для избавления от иррациональности в знаменателе умножают числитель и знаменатель на сопряжённое выражение

Логарифмы

• определение: $\log_a b = c \iff a^c = b$, при $a>0$, $a\neq 1$, $b>0$
• $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
• $\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$
• $\log_a x^p = p\log_a x$
• $\log_a a = 1$, $\log_a 1 = 0$
• формула перехода к новому основанию: $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$
• $a^{\log_a b} = b$

Тригонометрия

• основное тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
• $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, $\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$
• $1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$
• табличные значения для углов $0, \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{2}$
• формулы приведения: $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$, $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$, $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \cos\alpha$
• формулы суммы и разности: $\sin(\alpha\pm\beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$, $\cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$

1. Определить, какие операции присутствуют в выражении: степени, корни, логарифмы или тригонометрические функции.
2. Привести все числа к удобному виду — общему основанию для степеней, разложению на множители для корней, одинаковому основанию для логарифмов.
3. Применить соответствующие свойства (сложение или вычитание показателей, вынесение множителя из-под корня, объединение логарифмов, формулы приведения).
4. Упростить выражение до одного числа или простой дробной степени.
5. Выполнить финальное вычисление и записать ответ в требуемом виде — целое число или конечная дробь.
6. Проверить результат прикидкой: подставить приблизительные значения, чтобы убедиться в правдоподобности ответа.