Правила решения текстовых задач: ЕГЭ база (задания 1, 15, 20)

Коротко о главном

Текстовая задача решается по единому алгоритму: перевести условие на язык математики, составить уравнение (или систему), решить его и проверить ответ по смыслу задачи. Главные типы: движение, совместная работа, проценты и сплавы/смеси. Ключ к успеху — правильно выбрать неизвестное и не забыть про единицы измерения.

Определения и формулы/правила

Тип задачи	Основная формула	Пояснение
Движение	$S = v \cdot t$	путь = скорость × время
Встречное движение	$S = (v_1+v_2)\cdot t$	скорости складываются
Движение в одну сторону (догон)	$S = (v_1-v_2)\cdot t$	скорости вычитаются
По течению / против течения	$v_{по}=v+v_{теч}$, $v_{против}=v-v_{теч}$	течение помогает или мешает
Работа	$A = p \cdot t$	работа = производительность × время
Совместная работа	$\dfrac{1}{t}=\dfrac{1}{t_1}+\dfrac{1}{t_2}$	если работают вместе, время $t$ — общее
Проценты от числа	$a\% \text{ от } N = \dfrac{a}{100}\cdot N$	перевод процентов в дробь
Увеличение/уменьшение на a%	$N\cdot\left(1\pm\dfrac{a}{100}\right)$	знак «+» — рост, «–» — снижение
Сплавы, смеси	$m_{в-ва}= \dfrac{p\%}{100}\cdot m_{раствора}$	масса вещества через концентрацию

Алгоритм решения:

1. Определить, что неизвестно, обозначить переменной (обычно $x$).
2. Выразить все остальные величины через $x$, используя условие.
3. Составить уравнение или неравенство на основе физического смысла (пройденный путь, общий объём работы, суммарная масса и т.д.).
4. Решить уравнение.
5. Проверить: подходит ли корень по смыслу (время и скорость — положительные, проценты — не больше 100 и т.д.).
6. Дать ответ на вопрос задачи, а не просто значение $x$.

Как применять (примеры)

Пример 1. Движение. Расстояние между городами 300 км. Первый автомобиль выехал со скоростью $x$ км/ч, второй — навстречу со скоростью $(x+10)$ км/ч. Они встретились через 3 часа. Найти скорость первого автомобиля.

Решение: $3(x + x+10) = 300 \Rightarrow 6x+30=300 \Rightarrow x=45$. Ответ: 45 км/ч.

Пример 2. Совместная работа. Первый рабочий выполняет заказ за 6 часов, второй — за 12 часов. За сколько часов они выполнят заказ вместе?

Решение: $\dfrac{1}{t}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{2}{12}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$, значит $t=4$. Ответ: 4 часа.

Пример 3. Проценты (задание 1 или 20). Товар стоил 2000 рублей, после повышения цены на 15% его цена стала: $$2000\cdot\left(1+\dfrac{15}{100}\right)=2000\cdot 1{,}15=2300 \text{ руб.}$$

Типичные ошибки

• Путают, когда скорости складываются, а когда вычитаются (встречное движение / погоня).
• Забывают перевести проценты в доли ($15\% \ne 15$, а $0{,}15$).
• Решают уравнение, но не проверяют корень на соответствие смыслу задачи (отрицательное время, скорость больше разумной).
• В задачах на работу путают производительность и время выполнения — производительность обратна времени: $p=\dfrac{1}{t}$.
• Не учитывают, что при увеличении/уменьшении величины дважды проценты не складываются напрямую (например, +10% и −10% не дают исходное число).
• Забывают дать ответ на вопрос задачи, а не просто указать значение переменной.

Где встречается на экзамене

• Задание 1 — простые вычисления с процентами, скидками, стоимостью покупок.
• Задание 15 — текстовые задачи на движение, работу, проценты, смеси; требуется составить и решить уравнение.
• Задание 20 — практико-ориентированные задачи, часто с несколькими условиями (сравнение вариантов, оптимальный выбор, финансовые расчёты).