Задание 20 ЕГЭ база: текстовые задачи на проценты и движение

Что проверяет задание

Задание 20 проверяет умение переводить житейскую ситуацию на язык математики и решать текстовую задачу с помощью уравнения, пропорции или прямого вычисления. Проверяется не знание сложной теории, а аккуратность: правильно составить связь между величинами, не потерять проценты, не перепутать направления движения, верно понять, что даёт совместная работа.

В основе почти всех задач лежит одна идея — есть величина, которая меняется по определённому правилу (растёт на процент, складывается из скоростей, делится на время работы), и нужно выразить конечный результат через начальные данные.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Формулировки стандартны и почти всегда содержат:

• числовые данные (проценты, скорости, расстояния, время, объёмы);
• вопрос о конечном значении величины (сколько станет, на сколько процентов, за сколько часов).

Задание 20 в базовом ЕГЭ — задача с кратким ответом (число, часто целое или с двумя знаками после запятой). Оценивается в 1 балл: либо ответ верный и получен весь балл, либо ответ неверный и балл не засчитывается. Промежуточные шаги проверяющий не смотрит, поэтому важна не только логика, но и точность финальных вычислений.

Что нужно знать

• Увеличение величины $a$ на $p\%$: $a\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)$.
• Уменьшение величины $a$ на $p\%$: $a\cdot\left(1-\dfrac{p}{100}\right)$.
• Последовательное изменение на $p_1\%$, затем на $p_2\%$: итог $a\cdot\left(1+\dfrac{p_1}{100}\right)\cdot\left(1+\dfrac{p_2}{100}\right)$ (знаки минус, если уменьшение).
• Величина $A$ больше величины $B$ на $p\%$: $A=B\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)$.
• Концентрация вещества в смеси: $c=\dfrac{m_{\text{вещества}}}{m_{\text{смеси}}}\cdot 100\%$.
• При смешивании смесей масса вещества складывается: $m_1c_1+m_2c_2=m_{\text{итог}}c_{\text{итог}}$ (концентрации в долях).
• Равномерное движение: $s=vt$, откуда $v=\dfrac{s}{t}$, $t=\dfrac{s}{v}$.
• Встречное движение (сближение): скорость сближения $v_1+v_2$.
• Движение в одном направлении (погоня, отставание): скорость удаления/сближения $|v_1-v_2|$.
• Движение по окружности: встреча при движении в одну сторону — разность скоростей «съедает» круг, при движении в разные стороны — сумма скоростей.
• Движение по воде: скорость по течению $v+v_{\text{теч}}$, против течения $v-v_{\text{теч}}$, где $v$ — собственная скорость.
• Совместная работа: если один выполняет работу за $t_1$, а второй за $t_2$, то за час первый делает $\dfrac1{t_1}$ работы, второй $\dfrac1{t_2}$, вместе — $\dfrac1{t_1}+\dfrac1{t_2}$ работы в час; время совместной работы $t=\dfrac{1}{\frac1{t_1}+\frac1{t_2}}$.
• Арифметическая прогрессия: $a_n=a_1+(n-1)d$, сумма $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.
• Геометрическая прогрессия: $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$, сумма $S_n=b_1\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1}$ (при $q\ne1$).

Методы решения

1. Метод коэффициента (для процентов). Каждое изменение на $p\%$ заменяется множителем $1\pm\dfrac{p}{100}$, и все множители перемножаются последовательно. Мини-пример: цена товара 1000 рублей выросла на 10%, затем упала на 10%. Итог: $1000\cdot1{,}1\cdot0{,}9=990$ рублей — товар стал дешевле исходной цены, хотя проценты выглядят «равными».

2. Метод уравнения через неизвестный процент/скорость. Если процент или скорость неизвестны, вводится переменная (обычно $x$ — искомый процент или скорость), составляется уравнение согласно условию и решается. Мини-пример: товар подешевел на $x\%$, затем подорожал на $x\%$, стал дешевле исходного на 4%. Уравнение: $\left(1-\dfrac{x}{100}\right)\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=0{,}96$, откуда $1-\dfrac{x^2}{10000}=0{,}96$, $x^2=400$, $x=20$.

3. Метод «расстояние = скорость × время» с составлением таблицы. Для задач на движение удобно выписать в таблицу известные и неизвестные величины (скорость, время, расстояние) для каждого объекта и связать их через общее расстояние или общее время. Мини-пример: два пешехода идут навстречу друг другу, расстояние 20 км, скорости 4 и 6 км/ч. Время встречи: $t=\dfrac{20}{4+6}=2$ часа.

4. Метод суммирования производительностей (работа). Производительности (доли работы за единицу времени) складываются, если объекты работают одновременно на одну и ту же цель. Мини-пример: первый мастер делает работу за 6 часов, второй — за 3 часа. Вместе: $\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}$ работы в час, время совместной работы $2$ часа.

5. Метод формул прогрессий. Если задача описывает регулярное увеличение/уменьшение на одно и то же число — это арифметическая прогрессия; если на один и тот же коэффициент — геометрическая. Применяются формулы $n$-го члена и суммы. Мини-пример: зарплата растёт на 500 рублей каждый год, начиная с 20000. Через 5 лет: $a_5=20000+4\cdot500=22000$.

Алгоритм решения по шагам

1. Прочитать условие и определить тип задачи: проценты/сплав, движение, работа или прогрессия.
2. Выписать все известные величины и то, что требуется найти; ввести переменную для неизвестного, если оно есть.
3. Составить формулу или уравнение, точно отражающее связь величин (учитывать направление движения, знак изменения процента, кто с кем работает).
4. Решить уравнение или выполнить вычисление по формуле.
5. Проверить полученное число на смысл (не отрицательное расстояние, не время меньше нуля, процент — реалистичное число).
6. Округлить ответ, если требуется по условию, и записать его в требуемом формате.

Разбор примеров

Пример 1. В 2008 году в квартале проживало $40\,000$ человек. В 2009 году население выросло на $8\%$, а в 2010 году — ещё на $9\%$ по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало в 2010 году?

Шаг 1. Рост на $8\%$ соответствует множителю $1+\dfrac{8}{100}=1{,}08$.

Шаг 2. Население в 2009 году: $40\,000\cdot1{,}08=43\,200$.

Шаг 3. Рост на $9\%$ соответствует множителю $1{,}09$.

Шаг 4. Население в 2010 году: $43\,200\cdot1{,}09=47\,088$.

Шаг 5. Проверка: оба процента положительные, число получилось больше исходного — логично, так как оба года был рост.

Ответ: 47088.

Пример 2. В понедельник акции подорожали на $x\%$, во вторник подешевели на те же $x\%$. В итоге стали дешевле начальной цены на $4\%$. Найти $x$.

Шаг 1. Пусть исходная цена акции — $a$. После роста на $x\%$: $a\cdot\left(1+\dfrac{x}{100}\right)$.

Шаг 2. После падения на те же $x\%$: $a\cdot\left(1+\dfrac{x}{100}\right)\cdot\left(1-\dfrac{x}{100}\right)=a\cdot\left(1-\dfrac{x^2}{10000}\right)$.

Шаг 3. По условию итоговая цена на $4\%$ ниже начальной, то есть равна $a\cdot 0{,}96$. Составляем уравнение: $$1-\dfrac{x^2}{10000}=0{,}96.$$

Шаг 4. Решаем: $\dfrac{x^2}{10000}=0{,}04$, откуда $x^2=400$, $x=20$ (отрицательный корень не подходит, так как процент — положительная величина).

Шаг 5. Проверка: рост на 20%, затем падение на 20% от новой цены даёт $1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96$ — действительно на 4% ниже исходной.

Ответ: 20.

Пример 3. Четыре рубашки дешевле куртки на $8\%$. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?

Шаг 1. Пусть цена куртки — $K$, цена одной рубашки — $r$, тогда цена четырёх рубашек — $4r$.

Шаг 2. По условию $4r$ дешевле $K$ на $8\%$, то есть $$4r=K\cdot(1-0{,}08)=0{,}92K.$$

Шаг 3. Отсюда $r=\dfrac{0{,}92K}{4}=0{,}23K$.

Шаг 4. Цена пяти рубашек: $5r=5\cdot0{,}23K=1{,}15K$.

Шаг 5. Значит, пять рубашек дороже куртки на $1{,}15K-K=0{,}15K$, что составляет $15\%$ от цены куртки.

Шаг 6. Проверка: если $K=100$, то $4r=92$, $r=23$, $5r=115$ — действительно на 15 больше 100, то есть на 15%.

Ответ: 15.

Типичные ошибки и ловушки

• Складывание процентов вместо перемножения коэффициентов. Рост на 10%, затем ещё на 10% — это не рост на 20%, а $1{,}1\cdot1{,}1=1{,}21$, то есть рост на 21%.
• Неверный знак при повторном изменении на тот же процент. Если цена сначала растёт, а потом падает на столько же процентов, итог всегда меньше исходного (кроме случая $x=0$), так как $(1+t)(1-t)=1-t^2<1$.
• Путаница «на сколько процентов больше/меньше» и «во сколько раз». «На 8% дешевле» означает множитель $0{,}92$, а не $\dfrac{1}{1{,}08}$.
• Неправильный выбор суммы или разности скоростей при движении. При встречном движении складывают скорости, при движении в одном направлении — вычитают; для движения по окружности в противоположных направлениях скорости складываются, в одном направлении — вычитаются.
• Ошибки со скоростью течения. По течению скорость больше, против — меньше; собственная скорость лодки не равна скорости по течению или против течения.
• Забывают, что при совместной работе складываются производительности, а не время. Нельзя просто взять среднее время выполнения работы двумя работниками.
• Путают арифметическую и геометрическую прогрессию. Если величина растёт на одинаковое число — арифметическая, если на одинаковый процент (коэффициент) — геометрическая; использование неверной формулы даёт неверный ответ.
• Неверное округление ответа. Если в условии не указано округление, ответ обычно точный; если указано — округлять строго по правилу, а не «на глаз».

Как готовиться

Лучший способ подготовки — прорешать по 5–7 задач каждого типа подряд (проценты, сплавы, движение по прямой, движение по окружности, движение по воде, совместная работа, прогрессии), чтобы автоматически распознавать тип задачи по формулировке. После каждой решённой задачи полезно проверять ответ через альтернативный способ (например, подставить числа обратно в условие), чтобы отработать привычку к самоконтролю. Отдельное внимание стоит уделить задачам с процентами, где число повторяется два раза (рост-падение на одинаковый процент) — такие задачи часто содержат ловушку с итоговым уменьшением значения. Полезно завести таблицу формул из раздела «Что нужно знать» и периодически повторять её, пока формулы не начнут применяться автоматически при чтении условия.