Задание 20: Текстовые задачи

Формулировки стандартны и почти всегда содержат:

• числовые данные (проценты, скорости, расстояния, время, объёмы);
• вопрос о конечном значении величины (сколько станет, на сколько процентов, за сколько часов).

Задание 20 в базовом ЕГЭ — задача с кратким ответом (число, часто целое или с двумя знаками после запятой). Оценивается в 1 балл: либо ответ верный и получен весь балл, либо ответ неверный и балл не засчитывается. Промежуточные шаги проверяющий не смотрит, поэтому важна не только логика, но и точность финальных вычислений.

• Увеличение величины $a$ на $p\%$: $a\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)$.
• Уменьшение величины $a$ на $p\%$: $a\cdot\left(1-\dfrac{p}{100}\right)$.
• Последовательное изменение на $p_1\%$, затем на $p_2\%$: итог $a\cdot\left(1+\dfrac{p_1}{100}\right)\cdot\left(1+\dfrac{p_2}{100}\right)$ (знаки минус, если уменьшение).
• Величина $A$ больше величины $B$ на $p\%$: $A=B\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)$.
• Концентрация вещества в смеси: $c=\dfrac{m_{\text{вещества}}}{m_{\text{смеси}}}\cdot 100\%$.
• При смешивании смесей масса вещества складывается: $m_1c_1+m_2c_2=m_{\text{итог}}c_{\text{итог}}$ (концентрации в долях).
• Равномерное движение: $s=vt$, откуда $v=\dfrac{s}{t}$, $t=\dfrac{s}{v}$.
• Встречное движение (сближение): скорость сближения $v_1+v_2$.
• Движение в одном направлении (погоня, отставание): скорость удаления/сближения $|v_1-v_2|$.
• Движение по окружности: встреча при движении в одну сторону — разность скоростей «съедает» круг, при движении в разные стороны — сумма скоростей.
• Движение по воде: скорость по течению $v+v_{\text{теч}}$, против течения $v-v_{\text{теч}}$, где $v$ — собственная скорость.
• Совместная работа: если один выполняет работу за $t_1$, а второй за $t_2$, то за час первый делает $\dfrac1{t_1}$ работы, второй $\dfrac1{t_2}$, вместе — $\dfrac1{t_1}+\dfrac1{t_2}$ работы в час; время совместной работы $t=\dfrac{1}{\frac1{t_1}+\frac1{t_2}}$.
• Арифметическая прогрессия: $a_n=a_1+(n-1)d$, сумма $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.
• Геометрическая прогрессия: $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$, сумма $S_n=b_1\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1}$ (при $q\ne1$).

1. Прочитать условие и определить тип задачи: проценты/сплав, движение, работа или прогрессия.
2. Выписать все известные величины и то, что требуется найти; ввести переменную для неизвестного, если оно есть.
3. Составить формулу или уравнение, точно отражающее связь величин (учитывать направление движения, знак изменения процента, кто с кем работает).
4. Решить уравнение или выполнить вычисление по формуле.
5. Проверить полученное число на смысл (не отрицательное расстояние, не время меньше нуля, процент — реалистичное число).
6. Округлить ответ, если требуется по условию, и записать его в требуемом формате.