Задание 1 ЕГЭ база: округление с недостатком и избытком в текстовых задачах

Что проверяет задание

Задание 1 проверяет умение работать с простейшими текстовыми задачами на практические расчёты: покупки, обмен валюты, оплата услуг, деление величин. Ключевой навык — правильно выбрать способ округления результата в зависимости от смысла задачи. Здесь важна не столько математика, сколько внимательное чтение условия: что именно спрашивается и какое округление логично применить.

Ошибка в выборе округления — самая частая причина потери балла в этом задании, хотя вычисления обычно очень простые: сложение, умножение, деление, перевод единиц измерения.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Задание 1 — первое в базовом ЕГЭ по математике, оценивается в 1 балл. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, которую нужно вписать в бланк.

Типичные формулировки:

• «Сколько рублей стоила покупка? Ответ округлите до целого числа.»
• «Сколько дней хватит денег на счету?»
• «Какое наибольшее количество товара можно купить на заданную сумму?»
• «Сколько упаковок нужно купить, чтобы хватило на всех?»

Задача обычно состоит из 2–3 действий: перевод единиц (например, гривны в рубли), умножение на количество, деление суммы на цену. Сложность не в вычислениях, а в правильной интерпретации результата.

Что нужно знать

• Округление с недостатком — если нужно узнать, сколько целых единиц товара можно купить на определённую сумму денег, результат деления округляют вниз (отбрасывают дробную часть), даже если дробная часть больше 0,5. Например, если получилось $5{,}9$ упаковок, купить можно только $5$.
• Округление с избытком — если нужно узнать, сколько упаковок нужно купить, чтобы хватило на всех (или сколько единиц потребуется, чтобы выполнить условие полностью), результат округляют вверх, даже если дробная часть меньше 0,5. Например, если нужно $4{,}2$ упаковки, придётся купить $5$.
• Округление по правилам математики (обычное округление) — если в задаче явно сказано «округлите до целого числа» без указания направления, применяется стандартное правило: дробная часть менее $0{,}5$ округляется вниз, от $0{,}5$ и больше — вверх.
• Формула перевода единиц: если известна цена $1$ единицы в другой валюте или мере, то стоимость $n$ единиц в исходных единицах находится как произведение $n$ на цену и на курс перевода.
• Формула деления суммы на цену: количество товаров, которое можно купить на сумму $S$ рублей при цене $p$ рублей за штуку, равно $\dfrac{S}{p}$, округлённому в нужную сторону.
• Формула количества дней при равномерном расходе: если в день расходуется $d$ рублей, а на счету $S$ рублей, число дней вычисляется как $\left\lfloor \dfrac{S}{d} \right\rfloor$ или $\left\lfloor \dfrac{S}{d} \right\rfloor + 1$ — в зависимости от условия (списывают вечером или утром, входит ли сегодняшний день).

Методы решения

Метод 1. Перевод денежных единиц через курс обмена. Если известна цена товара в одной валюте, а платить нужно в другой, сначала переводят стоимость покупки в исходную валюту, а затем — в рубли по курсу.

Пример: цена товара $4$ гривны, курс $1$ гривна $= 3{,}7$ рубля. Стоимость $3$ единиц товара в гривнах: $3 \cdot 4 = 12$ гривен. В рублях: $12 \cdot 3{,}7 = 44{,}4$ рубля, округляем до целого — $44$ рубля.

Метод 2. Деление суммы на цену с округлением вниз (недостаток). Если спрашивают, сколько товара можно купить на имеющуюся сумму, делим сумму на цену и берём целую часть, отбрасывая остаток.

Пример: на $10$ рублей при цене $3$ рубля за штуку можно купить $\dfrac{10}{3} = 3{,}33...$, то есть $3$ штуки (на четвёртую штуку денег не хватает).

Метод 3. Деление с округлением вверх (избыток). Если нужно узнать, сколько единиц требуется, чтобы полностью выполнить условие (например, хватить на всех людей, вместить весь груз), делим и округляем вверх.

Пример: нужно рассадить $23$ человека по машинам, в каждой $5$ мест. $\dfrac{23}{5} = 4{,}6$, значит нужно $5$ машин, потому что четырёх не хватит.

Метод 4. Подсчёт количества периодов (дней, недель) при равномерном расходе средств. Считаем, сколько полных периодов расхода помещается в исходной сумме, учитывая условие о блокировке или окончании периода.

Пример: на счету $50$ рублей, тариф $12$ рублей в день. $\dfrac{50}{12} = 4{,}16$, то есть после списания $4$ раз останется $50 - 48 = 2$ рубля — этого хватит ещё на один день пользования (если условие позволяет), итог зависит от формулировки: считаем ли день с недостаточной суммой как использованный.

Метод 5. Обычное округление до целого числа. Если явно указано «округлите до целого» без уточнения направления, применяем стандартное правило округления: смотрим на первую цифру после запятой.

Пример: $17{,}5$ округляется до $18$, а $17{,}4$ — до $17$.

Алгоритм решения по шагам

1. Внимательно прочитать условие и определить, что именно нужно найти: точную стоимость, количество товара, число дней.
2. Выяснить, есть ли перевод единиц измерения или валюты — если да, выполнить его первым действием.
3. Составить арифметическое выражение для нужной величины (умножение, деление, сложение).
4. Определить тип округления по смыслу задачи:

• если спрашивают «сколько можно купить/поместить на имеющуюся сумму/место» — округление вниз;
• если спрашивают «сколько нужно, чтобы хватило всем/на всё» — округление вверх;
• если явно сказано «округлите до целого» без уточнения — обычное округление.

5. Выполнить вычисления и округлить результат в соответствии с выбранным правилом.
6. Проверить полученный ответ на здравый смысл: он должен быть неотрицательным целым числом, логически соответствующим условию задачи.

Разбор примеров

Пример 1. В обменном пункте $1$ гривна стоит $3$ рубля $70$ копеек. Отдыхающие обменяли рубли на гривны и купили $3$ кг помидоров по цене $4$ гривны за $1$ кг. Во сколько рублей обошлась им эта покупка? Ответ округлите до целого числа.

Шаг 1. Переводим цену в копейки в рубли: $3$ рубля $70$ копеек $= 3{,}7$ рубля.

Шаг 2. Находим стоимость покупки в гривнах: цена за $1$ кг — $4$ гривны, куплено $3$ кг, значит $$3 \cdot 4 = 12 \text{ гривен}.$$

Шаг 3. Переводим гривны в рубли, умножая на курс: $$12 \cdot 3{,}7 = 44{,}4 \text{ рубля}.$$

Шаг 4. Задача просит округлить до целого числа без указания направления, применяем обычное округление: дробная часть $0{,}4$ меньше $0{,}5$, значит округляем вниз.

Ответ: $44$ рубля.

Пример 2. По тарифу каждый вечер снимают $16$ рублей. Если на счету осталось меньше $16$ рублей, номер блокируют утром. Утром на счету $300$ рублей. Сколько дней (включая сегодняшний) можно пользоваться телефоном без пополнения?

Шаг 1. Определяем схему: сегодня утром деньги есть, значит сегодняшним днём можно пользоваться. Вечером снимают $16$ рублей за использование дня.

Шаг 2. Считаем, сколько раз можно снять $16$ рублей из $300$ рублей, то есть сколько полных вечерних списаний пройдёт, прежде чем баланс станет меньше $16$ рублей утром следующего дня: $$\frac{300}{16} = 18{,}75.$$

Шаг 3. Это означает, что $18$ полных списаний по $16$ рублей пройдут без блокировки, а на $19$-е не хватит. Проверим: после $18$ списаний останется $$300 - 18 \cdot 16 = 300 - 288 = 12 \text{ рублей}.$$ Это меньше $16$ рублей, значит утром $19$-го дня номер заблокируют.

Шаг 4. Значит пользоваться телефоном можно ровно $18$ дней (списания происходят вечером $1$-го по $18$-й день, а утром $19$-го — блокировка). Здесь применяется округление вниз, так как считается количество полных дней, которое обеспечено деньгами на счету.

Ответ: $18$ дней.

Пример 3. Баночка йогурта стоит $4$ рубля $60$ копеек. Какое наибольшее количество баночек можно купить на $25$ рублей?

Шаг 1. Переводим цену в рубли: $4$ рубля $60$ копеек $= 4{,}6$ рубля.

Шаг 2. Делим имеющуюся сумму на цену одной баночки: $$\frac{25}{4{,}6} \approx 5{,}43.$$

Шаг 3. Спрашивается наибольшее количество, которое можно купить на данную сумму — это классический случай округления с недостатком: дробная часть отбрасывается, потому что на $6$-ю баночку денег не хватает.

Шаг 4. Проверим: $5$ баночек стоят $5 \cdot 4{,}6 = 23$ рубля — хватает. $6$ баночек стоят $6 \cdot 4{,}6 = 27{,}6$ рубля — не хватает.

Ответ: $5$ баночек.

Типичные ошибки и ловушки

• Путаница между округлением вверх и вниз. Самая частая ошибка — механическое применение стандартного округления там, где нужно логическое: например, при расчёте «сколько товара можно купить» ученик округляет $5{,}9$ до $6$, забывая, что на шестую единицу не хватает денег.
• Игнорирование единиц измерения. Забывают перевести копейки в рубли, минуты в часы, граммы в килограммы перед основным вычислением — это искажает весь ответ.
• Ошибка в порядке действий. Например, сначала складывают, а нужно было умножить, или переводят валюту после умножения, а не до него — хотя в большинстве случаев порядок не критичен, но при округлении промежуточных шагов это может повлиять на итог.
• Неверная трактовка условия про дни и списания. В задачах про тариф важно понять, списывают деньги вечером или утром, входит ли сегодняшний день в счёт, что происходит при недостатке средств — блокировка сразу или в конце дня.
• Округление на промежуточном шаге. Если округлить результат деления раньше времени, а потом использовать округлённое число в дальнейших вычислениях, итоговый ответ может отличаться от правильного. Округлять нужно только финальный результат, если явно не указано иное.
• Забывают проверить ответ на здравый смысл. Отрицательное число баночек йогурта или дробное количество дней — явный сигнал ошибки в вычислениях или в выборе округления.

Как готовиться

Решайте задачи этого типа сериями по 10–15 штук, обращая внимание не на вычисления, а на формулировку вопроса: ищите ключевые слова «наибольшее количество», «хватит на всех», «сколько дней» — они подсказывают тип округления. Составьте для себя короткую памятку с тремя случаями округления и держите её перед глазами при тренировке, пока выбор не станет автоматическим. Разбирайте задачи на дни и тарифы отдельно — в них легче всего запутаться из-за момента списания денег и включения текущего дня. После решения каждой задачи проверяйте ответ здравым смыслом: подставьте число обратно в условие и убедитесь, что оно логически подходит. Регулярная практика с разбором собственных ошибок быстро формирует нужную интуицию для этого типа заданий.