Задание 15 ЕГЭ база: проценты и округление в текстовых задачах

Что проверяет задание

Задание 15 проверяет умение работать с процентами в бытовых ситуациях: находить цену после скидки или наценки, считать, сколько товара можно купить на определённую сумму, и правильно округлять результат до целого числа. Это практическая математика — навык, нужный при покупках, расчёте бюджета, сравнении вариантов покупки. Задание не требует сложных вычислений, но требует внимательности к формулировке: важно понять, что именно спрашивают — наибольшее целое число товаров, точную цену или процент изменения.

Основная сложность не в математике, а в том, чтобы не запутаться в порядке действий: сначала посчитать новую цену, потом разделить сумму денег на эту цену, потом округлить результат в нужную сторону (обычно вниз, так как нельзя купить дробную часть товара).

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка: «Товар стоит $a$ рублей. Какое наибольшее число товаров можно купить на $b$ рублей после повышения (понижения) цены на $p\%$?» Также встречаются варианты без изменения цены — просто найти количество товара на заданную сумму, или найти саму цену после скидки/наценки.

Задание оценивается в 1 балл. Ответ — целое число, которое нужно вписать в бланк без единиц измерения. Проверяется автоматически, поэтому важна точность вычислений и правильное округление.

Что нужно знать

• Процент от числа: $p\%$ от числа $a$ равен $\dfrac{p}{100}\cdot a$.
• Увеличение числа на $p\%$: новое значение равно $a\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)$.
• Уменьшение числа на $p\%$ (скидка): новое значение равно $a\cdot\left(1-\dfrac{p}{100}\right)$.
• Перевод процента в десятичную дробь: $p\% = \dfrac{p}{100}$, например $25\% = 0{,}25$, $10\% = 0{,}1$.
• Количество товара на сумму $S$ при цене одной единицы $c$: $n = \dfrac{S}{c}$.
• Если $n$ не целое, а нужно наибольшее целое число товаров, которое можно купить, то берём округление вниз (округление в меньшую сторону, до ближайшего целого, не превышающего $n$): $n_{\text{итог}} = \lfloor n \rfloor$.
• Округление вниз всегда применяется, когда речь идёт о количестве неделимых предметов, а денег может не хватить на дробную часть.
• Важно не путать округление по правилам математики (до ближайшего целого) с округлением по смыслу задачи (только вниз, если считаем штуки).

Методы решения

Метод 1. Нахождение цены после скидки. Цена уменьшается на $p\%$, значит новая цена равна $a\cdot\left(1-\dfrac{p}{100}\right)$. Пример: товар стоил 200 рублей, скидка 15%. Новая цена: $200\cdot(1-0{,}15)=200\cdot0{,}85=170$ рублей.

Метод 2. Нахождение цены после наценки. Цена увеличивается на $p\%$, значит новая цена равна $a\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)$. Пример: товар стоил 50 рублей, цена выросла на 20%. Новая цена: $50\cdot1{,}2=60$ рублей.

Метод 3. Деление суммы денег на цену и округление вниз. Если есть сумма $S$ и цена одного товара $c$, количество товаров $n=\dfrac{S}{c}$, а итоговый ответ — это целая часть от деления, если $n$ не целое. Пример: $S=500$, $c=70$. $n=\dfrac{500}{70}\approx7{,}14$. Купить можно только 7 штук.

Метод 4. Комбинированная задача: сначала изменение цены, потом деление. Сначала находим новую цену товара с учётом скидки или наценки, затем делим бюджет на эту цену и округляем вниз. Пример: цена 100 рублей, скидка 10%, бюджет 540 рублей. Новая цена: $100\cdot0{,}9=90$. Количество: $\dfrac{540}{90}=6$ — ровно 6 штук, округление не требуется.

Метод 5. Проверка через умножение (обратный ход). После получения числа товаров полезно проверить: умножить количество на цену и убедиться, что сумма не превышает бюджет, а следующее целое число уже превышает бюджет. Это простой способ избежать ошибки округления. Пример: если получили $n=8$ при цене 120 и бюджете 1000, проверяем $8\cdot120=960\le1000$, а $9\cdot120=1080>1000$ — значит 8 верно.

Алгоритм решения по шагам

1. Внимательно прочитать условие: определить исходную цену, процент изменения (скидка или наценка) и доступную сумму денег.
2. Перевести процент в десятичную дробь: $p\% = \dfrac{p}{100}$.
3. Найти новую цену товара: при скидке — умножить исходную цену на $\left(1-\dfrac{p}{100}\right)$, при наценке — умножить на $\left(1+\dfrac{p}{100}\right)$.
4. Разделить всю доступную сумму денег на новую цену, получить число $n$ (возможно, нецелое).
5. Если $n$ — не целое число, взять наибольшее целое число, не превышающее $n$ (округлить вниз), так как купить дробную часть товара нельзя.
6. Проверить результат: умножить полученное количество на цену и убедиться, что сумма не превышает бюджет; проверить, что следующее целое число товаров уже не укладывается в бюджет.
7. Записать ответ как целое число без единиц измерения.

Разбор примеров

Пример 1. Флакон шампуня стоит 160 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25%?

Шаг 1. Исходная цена: $a=160$ рублей. Скидка: $p=25\%$. Бюджет: $S=1000$ рублей.

Шаг 2. Переводим процент в дробь: $25\% = 0{,}25$.

Шаг 3. Находим цену со скидкой: $$c = 160\cdot(1-0{,}25) = 160\cdot0{,}75 = 120 \text{ рублей}.$$

Шаг 4. Находим количество флаконов: $$n = \dfrac{1000}{120} \approx 8{,}33.$$

Шаг 5. Так как купить дробную часть флакона нельзя, округляем вниз: $n_{\text{итог}} = 8$.

Шаг 6. Проверка: $8\cdot120 = 960 \le 1000$ — хватает денег. Проверим 9 флаконов: $9\cdot120 = 1080 > 1000$ — не хватает. Значит, 8 — верный ответ.

Ответ: 8.

Пример 2. Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10%?

Шаг 1. Исходная цена: $a=40$ рублей. Наценка: $p=10\%$. Бюджет: $S=900$ рублей.

Шаг 2. Переводим процент в дробь: $10\% = 0{,}1$.

Шаг 3. Находим цену после повышения: $$c = 40\cdot(1+0{,}1) = 40\cdot1{,}1 = 44 \text{ рубля}.$$

Шаг 4. Находим количество ручек: $$n = \dfrac{900}{44} \approx 20{,}45.$$

Шаг 5. Округляем вниз: $n_{\text{итог}} = 20$.

Шаг 6. Проверка: $20\cdot44 = 880 \le 900$ — хватает. Проверим 21 ручку: $21\cdot44 = 924 > 900$ — не хватает. Значит, 20 — верный ответ.

Ответ: 20.

Пример 3. Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 750 рублей после понижения цены на 10%?

Шаг 1. Исходная цена: $a=40$ рублей. Скидка: $p=10\%$. Бюджет: $S=750$ рублей.

Шаг 2. Переводим процент в дробь: $10\% = 0{,}1$.

Шаг 3. Находим цену после понижения: $$c = 40\cdot(1-0{,}1) = 40\cdot0{,}9 = 36 \text{ рублей}.$$

Шаг 4. Находим количество тетрадей: $$n = \dfrac{750}{36} \approx 20{,}83.$$

Шаг 5. Округляем вниз: $n_{\text{итог}} = 20$.

Шаг 6. Проверка: $20\cdot36 = 720 \le 750$ — хватает. Проверим 21 тетрадь: $21\cdot36 = 756 > 750$ — не хватает. Значит, 20 — верный ответ.

Ответ: 20.

Типичные ошибки и ловушки

• Округление в неправильную сторону: если задача про количество товаров, всегда округляют вниз, даже если дробная часть больше 0,5. Округление по обычным математическим правилам (до ближайшего целого) здесь неприменимо.
• Забывают учесть изменение цены: считают количество товаров по старой цене, а не по новой, после скидки или наценки.
• Путают направление изменения цены: складывают процент при скидке или вычитают при наценке — знак операции должен соответствовать смыслу (скидка — минус, наценка — плюс).
• Ошибка в переводе процента: забывают делить на 100, используют $p$ вместо $\dfrac{p}{100}$ в формуле.
• Не проверяют результат через обратное умножение, из-за чего пропускают ошибки в вычислениях цены или деления.
• Вычисляют дробную цену товара (например, при делении на нечётное число) и не приводят её к разумной точности при промежуточных расчётах, что приводит к накоплению ошибки округления.
• Путают, что округляется — сумма денег или количество товаров. Округлять нужно именно количество товаров, а не остаток денег.

Как готовиться

Для уверенного решения таких задач нужно твёрдо знать формулы процента от числа, увеличения и уменьшения числа на процент, и автоматически применять их без раздумий. Полезно решить подряд 15–20 задач разного типа: со скидками, с наценками, без изменения цены — чтобы алгоритм из шагов «найти новую цену → разделить бюджет → округлить вниз → проверить» закрепился как рефлекс.

При тренировке обязательно делайте шаг проверки: умножайте полученное количество товаров на цену и сравнивайте с бюджетом, а также проверяйте следующее целое число. Это помогает не только избежать ошибок округления, но и находить ошибки в арифметике на более раннем этапе.

Также стоит потренироваться быстро переводить проценты в десятичные дроби в уме: $5\%=0{,}05$, $15\%=0{,}15$, $20\%=0{,}2$ и так далее — это ускоряет решение и снижает риск ошибки при письме формул. Регулярная практика с похожими задачами из открытого банка заданий по базовой математике позволит довести решение до автоматизма и тратить на задание не больше двух-трёх минут.