Формулы объёма и площади поверхности тел — ЕГЭ база

Коротко о главном

Объём $V$ показывает, сколько пространства занимает тело, измеряется в $см^3$, $м^3$ и т.д. Площадь поверхности $S$ — это площадь всей «обёртки» тела, измеряется в $см^2$, $м^2$. Для задач ЕГЭ базового уровня нужно знать формулы для куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра, конуса, шара и пирамиды — и уметь подставлять числа.

Определения и формулы/правила

Тело	Объём	Площадь полной поверхности
Куб (ребро $a$)	$V=a^3$	$S=6a^2$
Параллелепипед ($a,b,c$)	$V=abc$	$S=2(ab+bc+ac)$
Призма (площадь основания $S_{осн}$, высота $h$)	$V=S_{осн}\cdot h$	$S=2S_{осн}+P_{осн}\cdot h$
Цилиндр (радиус $r$, высота $h$)	$V=\pi r^2 h$	$S=2\pi r^2+2\pi r h=2\pi r(r+h)$
Конус (радиус $r$, высота $h$, образующая $l$)	$V=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$	$S=\pi r^2+\pi r l$
Шар (радиус $R$)	$V=\dfrac{4}{3}\pi R^3$	$S=4\pi R^2$
Пирамида (площадь основания $S_{осн}$, высота $h$)	$V=\dfrac{1}{3}S_{осн}\cdot h$	зависит от вида основания

Важные связи:

• Для конуса: $l^2=r^2+h^2$ (теорема Пифагора для образующей).
• Диаметр $d=2R$, значит $R=\dfrac{d}{2}$.
• Объём цилиндра и конуса с одинаковыми основанием и высотой отличаются в 3 раза: $V_{цил}=3V_{кон}$.
• Если тело «вписано» или «описано», сначала находят нужный линейный размер (радиус, ребро), а потом применяют формулу.

Как применять

Пример 1. Куб. Ребро куба $a=4$ см. Найти объём и площадь поверхности. $V=a^3=4^3=64$ см³. $S=6a^2=6\cdot16=96$ см².

Пример 2. Цилиндр. Радиус основания $r=3$ см, высота $h=5$ см. Найти объём. $V=\pi r^2h=\pi\cdot9\cdot5=45\pi\approx141{,}3$ см³.

Пример 3. Шар. Диаметр шара $d=6$ см. Найти площадь поверхности. Сначала $R=\dfrac{d}{2}=3$ см. $S=4\pi R^2=4\pi\cdot9=36\pi\approx113{,}1$ см².

Типичные ошибки

• Путают радиус и диаметр — используют $d$ вместо $R$ в формуле, забыв поделить на 2.
• Забывают множитель $\dfrac{1}{3}$ для конуса и пирамиды — считают как для цилиндра/призмы.
• В формуле площади поверхности цилиндра забывают про два основания (только боковая поверхность вместо полной).
• Путают образующую конуса $l$ с высотой $h$ — используют $h$ в формуле площади боковой поверхности вместо $l$.
• Неверно переводят единицы измерения (см в м) перед подстановкой в формулу.
• Забывают, что $\pi\approx3{,}14$, если в задаче требуется численный ответ, а не ответ с $\pi$.

Где встречается на экзамене

Формулы объёма и площади поверхности используются в заданиях №11 (прикладные задачи на объём и площадь, часто с бытовым сюжетом — бак, коробка, труба), №13 (планиметрические и стереометрические задачи на вычисление) и №14 (задачи на комбинации тел, где нужно найти объём или площадь после анализа чертежа или развёртки).