Задание 11 ЕГЭ база: многогранники, объём и площадь составных тел

Что проверяет задание

Задание 11 базового ЕГЭ по математике проверяет умение работать с многогранниками и телами вращения на школьном уровне: считать количество граней, рёбер и вершин, находить объём и площадь поверхности куба, параллелепипеда, призмы, пирамиды, а также составных фигур, полученных склейкой или срезанием частей стандартных тел. Отдельно проверяется понимание того, как меняется многогранник при добавлении или удалении вершины, ребра или грани — это требует не вычислений, а внимательного анализа рисунка.

Задание опирается на базовые определения стереометрии: что такое грань, ребро, вершина, чем правильная призма отличается от произвольной, как устроена правильная пирамида. Никаких сложных доказательств не требуется — нужен аккуратный подсчёт и знание формул.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Задание находится в блоке базового ЕГЭ, оценивается в 1 балл, ответ — целое число или конечная десятичная дробь, записывать решение не нужно. Формулировки обычно такие:

• «Сколько граней (рёбер, вершин) у получившегося многогранника?»
• «Найдите объём (площадь поверхности) составного тела»
• «Во сколько раз увеличится/уменьшится объём при изменении размера»

Часто в условии присутствует рисунок, на котором показано, как один многогранник приклеен к другому или как срезана его часть. Важная деталь: невидимые рёбра на чертеже, как правило, не показаны, поэтому решение строится не на «разглядывании» картинки, а на логическом подсчёте элементов.

Что нужно знать

• Формула Эйлера для многогранника: $V - E + F = 2$, где $V$ — число вершин, $E$ — число рёбер, $F$ — число граней.
• Куб с ребром $a$: объём $V = a^3$, площадь поверхности $S = 6a^2$, число граней 6, рёбер 12, вершин 8.
• Прямоугольный параллелепипед со сторонами $a, b, c$: $V = abc$, $S = 2(ab+bc+ac)$.
• Прямая призма с площадью основания $S_{осн}$ и высотой $h$: $V = S_{осн}\cdot h$, $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.
• Правильная $n$-угольная призма: 2 основания и $n$ боковых граней (всего $n+2$ грани), $3n$ рёбер, $2n$ вершин.
• Пирамида с площадью основания $S_{осн}$ и высотой $h$: $V = \dfrac13 S_{осн}\cdot h$.
• Правильная $n$-угольная пирамида: $n+1$ грань, $2n$ рёбер, $n+1$ вершина; боковая поверхность $S_{бок} = \dfrac12 P l$, где $P$ — периметр основания, $l$ — апофема (наклонная высота боковой грани).
• Цилиндр радиусом $r$ и высотой $h$: $V = \pi r^2 h$, $S_{полн} = 2\pi r h + 2\pi r^2$.
• Конус радиусом $r$, высотой $h$, образующей $l$: $V = \dfrac13 \pi r^2 h$, $S_{бок} = \pi r l$.
• Шар радиуса $r$: $V = \dfrac43 \pi r^3$, $S = 4\pi r^2$.
• При склейке двух многогранников по совпавшей грани эта грань исчезает у обоих тел — она перестаёт быть внешней гранью результата (если она не разбивается на части другими элементами).
• При срезании вершины, из которой выходит $m$ рёбер, на её месте появляется новая грань — многоугольник с $m$ сторонами, а старые грани, прилегавшие к этой вершине, не исчезают, но меняют форму (у них «срезается» угол).

Методы решения

1. Формула Эйлера как проверка. Если удалось посчитать любые два из трёх параметров ($V, E, F$), третий находится по формуле $V - E + F = 2$. Пример: у многогранника 10 вершин и 15 рёбер, тогда $F = 2 - V + E = 2 - 10 + 15 = 7$.

2. Подсчёт «по кускам» при склейке фигур. Складывают элементы (грани, рёбра, вершины) исходных тел, а затем вычитают то, что совпало при соединении. Пример: к квадрату-основанию куба приклеили пирамиду по одной грани — эта грань исчезает у обоих тел, значит из суммы граней куба и пирамиды нужно вычесть 2 (по одной грани с каждой стороны совпадения).

3. Подсчёт при срезании вершин или рёбер. Каждая срезанная вершина степени $m$ добавляет одну новую грань — $m$-угольник, при этом старые грани, число которых не меняется, лишь теряют углы. Пример: у куба (8 вершин степени 3) срезали все вершины — появилось 8 новых треугольных граней, а исходные 6 квадратных граней превратились в шестиугольники; итого граней $6+8=14$.

4. Разбиение составного тела на стандартные фигуры для объёма и площади. Составную фигуру мысленно делят на куб, параллелепипед, призму, пирамиду и т. д., находят объём (или площадь) каждой части и складывают либо вычитают. Пример: объём «домика» (параллелепипед + треугольная призма-крыша) равен сумме объёма параллелепипеда и объёма призмы.

5. Работа с телами вращения в комбинациях. Когда цилиндр, конус и шар объединены в одну фигуру (например, конус с полусферой на вершине), объём и площадь находят отдельно для каждой части, учитывая, что общая граница (круг) не входит в внешнюю площадь поверхности. Пример: объём «мороженого» (конус + полусфера) равен $\dfrac13\pi r^2 h + \dfrac23\pi r^3$.

Алгоритм решения по шагам

1. Определить, из каких стандартных тел состоит фигура на рисунке (призма, пирамида, куб, цилиндр, конус, шар или их части).
2. Если вопрос про грани, рёбра или вершины — посчитать эти элементы для каждого исходного тела отдельно, используя стандартные значения (см. раздел «Что нужно знать»).
3. Определить, какие элементы совпадают при соединении тел: обычно это одна грань (та, по которой произошла склейка) и её рёбра и вершины.
4. Проверить важный момент: не лежат ли соседние грани разных тел в одной плоскости после соединения. Если да, они «слипаются» в одну грань, и число граней и рёбер уменьшается сильнее, чем при простом сложении.
5. Сложить элементы обоих тел и вычесть совпавшие (или слившиеся) элементы.
6. Проверить результат формулой Эйлера: посчитанные $V$, $E$, $F$ должны удовлетворять равенству $V-E+F=2$.
7. Если вопрос про объём или площадь — разбить фигуру на стандартные тела, вычислить каждую величину по формулам, сложить или вычесть части; при подсчёте площади поверхности не забыть исключить внутренние (склеенные) грани.

Разбор примеров

Пример 1. От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все её вершины. Сколько граней у получившегося многогранника?

Шаг 1. У правильной пятиугольной призмы 2 основания-пятиугольника и 5 боковых прямоугольных граней — всего $F=7$ граней, $E=15$ рёбер (по 5 в каждом основании и 5 боковых), $V=10$ вершин.

Шаг 2. Каждая вершина призмы имеет степень 3: к ней подходят два ребра основания и одно боковое ребро. Значит при срезании каждой вершины на её месте появляется новая треугольная грань (сечение проходит через середины трёх рёбер, выходящих из вершины).

Шаг 3. Новых граней столько же, сколько вершин: $10$ треугольных граней.

Шаг 4. Старые 7 граней не исчезают — у каждой из них просто срезаются углы, но они остаются отдельными гранями (пятиугольники становятся десятиугольниками, прямоугольники — шестиугольниками).

Шаг 5. Итоговое число граней: $7 + 10 = 17$.

Ответ: 17.

Пример 2. К правильной треугольной призме со стороной основания 1 приклеили правильную треугольную пирамиду со стороной основания 1 так, что основания совпали. Сколько рёбер у получившегося многогранника?

Шаг 1. У треугольной призмы $E=9$ рёбер (по 3 в каждом основании и 3 боковых), у треугольной пирамиды $E=6$ рёбер (3 в основании и 3 боковых, идущих к вершине).

Шаг 2. При склейке верхнее основание призмы совпадает с основанием пирамиды. Их 3 общих ребра — это одни и те же рёбра, а не два разных набора, поэтому их не нужно считать дважды.

Шаг 3. Значит из рёбер призмы (9) и рёбер пирамиды (6) общими являются 3 ребра основания. Считаем: $9 + 6 - 3 = 12$.

Шаг 4. Проверка на «слипание» граней: боковые грани призмы — прямоугольники, боковые грани пирамиды — треугольники, наклонённые под другим углом, поэтому в одну плоскость с боковыми гранями призмы они не сливаются (по условию задачи такая пирамида не является «плоским» продолжением призмы). Значит все рёбра остаются самостоятельными.

Шаг 5. Итог: рёбер $12$.

Ответ: 12.

Пример 3. К кубу с ребром 1 приклеили правильную четырёхугольную пирамиду со стороной основания 1 так, что квадратные грани совпали. Сколько граней у получившегося многогранника?

Шаг 1. У куба $F=6$ граней, у четырёхугольной пирамиды $F=5$ граней (1 квадратное основание и 4 треугольные боковые).

Шаг 2. При склейке грань куба, к которой приклеена пирамида, и основание пирамиды — это одна и та же поверхность, которая становится внутренней и не входит во внешнюю поверхность результата. Значит она исчезает с обеих сторон: у куба остаётся $6-1=5$ внешних граней, у пирамиды остаётся $5-1=4$ боковые грани.

Шаг 3. Проверка на «слипание»: боковые грани пирамиды — треугольники, наклонённые к основанию под определённым углом, соседние грани куба — квадраты, перпендикулярные основанию. Плоскости этих граней не совпадают, поэтому слияния не происходит.

Шаг 4. Складываем оставшиеся грани: $5 + 4 = 9$.

Ответ: 9.

Типичные ошибки и ловушки

• Забывают, что общая грань при склейке двух тел исчезает с обеих сторон, и считают её два раза или, наоборот, не вычитают вовсе.
• Не проверяют, не совпадают ли по плоскости соседние грани разных частей фигуры — в этом случае несколько граней «слипаются» в одну, и итоговое число граней и рёбер получается меньше, чем при простом сложении.
• При срезании вершин считают, что старые грани исчезают, хотя они остаются, только меняют форму (превращаются в многоугольники с большим числом сторон).
• Путают количество рёбер и граней у пирамид с разным числом сторон основания: для $n$-угольной пирамиды это $2n$ рёбер и $n+1$ грань, а не наоборот.
• В формуле объёма пирамиды забывают множитель $\dfrac13$, приравнивая её объём к объёму призмы с той же высотой и основанием.
• При подсчёте площади поверхности составного тела не исключают склеенные (внутренние) грани, из-за чего площадь получается завышенной.
• Путают апофему боковой грани правильной пирамиды с высотой самой пирамиды — это разные отрезки, и подстановка одного вместо другого даёт неверный результат.

Как готовиться

Стоит начать с повторения определений: грань, ребро, вершина, правильная призма, правильная пирамида, а также формулы Эйлера. Далее полезно потренироваться на простых примерах склейки двух многогранников по общей грани и на срезании одной вершины у куба или тетраэдра — это позволяет прочувствовать логику подсчёта «на пальцах», прежде чем переходить к более сложным фигурам.

Отдельное внимание нужно уделить проверке «слипания» граней: полезно рисовать эскизы и мысленно представлять, продолжается ли боковая грань одной части фигуры в плоскости боковой грани другой части. Такие случаи часто встречаются в вариантах и требуют особой аккуратности.

Для задач на объём и площадь стоит выучить формулы всех стандартных тел наизусть и регулярно решать задачи на разбиение составной фигуры на простые части — куб, параллелепипед, призму, пирамиду, цилиндр, конус, шар. Полезно решать задания из открытого банка заданий ФИПИ по этой теме, каждый раз проверяя ответ формулой Эйлера, если вопрос касается количества элементов многогранника. Регулярная практика с рисунками и последовательный разбор «по шагам» помогают избежать ошибок при подсчёте на экзамене.