Задание 11: Прикладная стереометрия

Задание находится в блоке базового ЕГЭ, оценивается в 1 балл, ответ — целое число или конечная десятичная дробь, записывать решение не нужно. Формулировки обычно такие:

• «Сколько граней (рёбер, вершин) у получившегося многогранника?»
• «Найдите объём (площадь поверхности) составного тела»
• «Во сколько раз увеличится/уменьшится объём при изменении размера»

…

• Формула Эйлера для многогранника: $V - E + F = 2$, где $V$ — число вершин, $E$ — число рёбер, $F$ — число граней.
• Куб с ребром $a$: объём $V = a^3$, площадь поверхности $S = 6a^2$, число граней 6, рёбер 12, вершин 8.
• Прямоугольный параллелепипед со сторонами $a, b, c$: $V = abc$, $S = 2(ab+bc+ac)$.
• Прямая призма с площадью основания $S_{осн}$ и высотой $h$: $V = S_{осн}\cdot h$, $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.
• Правильная $n$-угольная призма: 2 основания и $n$ боковых граней (всего $n+2$ грани), $3n$ рёбер, $2n$ вершин.
• Пирамида с площадью основания $S_{осн}$ и высотой $h$: $V = \dfrac13 S_{осн}\cdot h$.
• Правильная $n$-угольная пирамида: $n+1$ грань, $2n$ рёбер, $n+1$ вершина; боковая поверхность $S_{бок} = \dfrac12 P l$, где $P$ — периметр основания, $l$ — апофема (наклонная высота боковой грани).
• Цилиндр радиусом $r$ и высотой $h$: $V = \pi r^2 h$, $S_{полн} = 2\pi r h + 2\pi r^2$.
• Конус радиусом $r$, высотой $h$, образующей $l$: $V = \dfrac13 \pi r^2 h$, $S_{бок} = \pi r l$.
• Шар радиуса $r$: $V = \dfrac43 \pi r^3$, $S = 4\pi r^2$.
• При склейке двух многогранников по совпавшей грани эта грань исчезает у обоих тел — она перестаёт быть внешней гранью результата (если она не разбивается на части другими элементами).
• При срезании вершины, из которой выходит $m$ рёбер, на её месте появляется новая грань — многоугольник с $m$ сторонами, а старые грани, прилегавшие к этой вершине, не исчезают, но меняют форму (у них «срезается» угол).

1. Определить, из каких стандартных тел состоит фигура на рисунке (призма, пирамида, куб, цилиндр, конус, шар или их части).
2. Если вопрос про грани, рёбра или вершины — посчитать эти элементы для каждого исходного тела отдельно, используя стандартные значения (см. раздел «Что нужно знать»).
3. Определить, какие элементы совпадают при соединении тел: обычно это одна грань (та, по которой произошла склейка) и её рёбра и вершины.
4. Проверить важный момент: не лежат ли соседние грани разных тел в одной плоскости после соединения. Если да, они «слипаются» в одну грань, и число граней и рёбер уменьшается сильнее, чем при простом сложении.
5. Сложить элементы обоих тел и вычесть совпавшие (или слившиеся) элементы.
6. Проверить результат формулой Эйлера: посчитанные $V$, $E$, $F$ должны удовлетворять равенству $V-E+F=2$. …