Задание 13 ЕГЭ база: объёмы и площади тел — параллелепипед, призма, пирамида, цилиндр, конус, шар

Что проверяет задание

Задание 13 базового ЕГЭ проверяет умение применять формулы объёма и площади поверхности пространственных фигур: параллелепипеда, призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и шара. Здесь не требуется доказывать теоремы или строить сложные чертежи — нужно узнать тип фигуры, подставить данные в формулу и аккуратно посчитать. Часто задача устроена так, что прямое применение формулы невозможно: сначала нужно найти недостающий элемент (ребро, высоту, радиус) через объём или через связь одной фигуры с другой (например, пирамида как часть параллелепипеда).

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Задание всегда текстовое, часто со ссылкой на рисунок ("[рисунок]"), который не влияет на числовой ответ — все данные даны в тексте. Типичные формулировки: "Найдите объём...", "Найдите площадь поверхности...", "Одно из рёбер равно..., найдите...". Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, без единиц измерения. За задание даётся 1 балл, ответ вводится без решения, поэтому засчитывается только правильное число. Половина ошибки — арифметическая, поэтому важна аккуратность вычислений, а не только знание теории.

Что нужно знать

Параллелепипед

• Объём: $V = S_{осн} \cdot h$, для прямоугольного — $V = abc$.
• Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда: $S = 2(ab+bc+ac)$.
• Диагональ прямоугольного параллелепипеда: $d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

Призма

• Объём: $V = S_{осн} \cdot h$.
• Площадь боковой поверхности прямой призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания.
• Полная поверхность: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.

Пирамида

• Объём: $V = \dfrac{1}{3} S_{осн} \cdot h$.
• Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$.
• Важное соотношение: объём треугольной пирамиды, полученной отсечением от призмы, равен $\dfrac{1}{3}$ объёма этой призмы.

Цилиндр

• Объём: $V = \pi r^2 h$.
• Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 2\pi r h$.
• Полная поверхность: $S_{полн} = 2\pi r (r+h)$.

Конус

• Объём: $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$.
• Образующая: $l = \sqrt{r^2+h^2}$.
• Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \pi r l$.
• Полная поверхность: $S_{полн} = \pi r (r+l)$.

Шар

• Объём: $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$.
• Площадь поверхности: $S = 4\pi r^2$.

Общее правило масштабирования

• Если все линейные размеры фигуры умножить на $k$, объём умножается на $k^3$, а площадь поверхности — на $k^2$.

Методы решения

1. Прямая подстановка в формулу. Если все нужные величины даны явно, задача сводится к вычислению. Пример: цилиндр с $r=3$, $h=5$: $V = \pi \cdot 9 \cdot 5 = 45\pi$.

2. Восстановление недостающего измерения через объём. Часто даны два ребра прямоугольного параллелепипеда и его объём — третье ребро находится делением. Пример: $a=2$, $b=3$, $V=30$, тогда $c = \dfrac{30}{2\cdot 3}=5$.

3. Разбиение фигуры на более простые части. Параллелепипед можно разрезать диагональными плоскостями на призмы и пирамиды с известными долями объёма от целого. Пример: диагональное сечение делит куб на две треугольные призмы, каждая равна половине объёма куба.

4. Использование теоремы Пифагора для тел вращения. Для конуса радиус, высота и образующая связаны прямоугольным треугольником: $l^2 = r^2+h^2$. Пример: $r=3$, $l=5$, тогда $h=\sqrt{25-9}=4$.

5. Приведение к "половинным" или "вписанным" конфигурациям. Если тело вписано в другое (шар в цилиндр, конус в цилиндр той же высоты и радиуса), их объёмы связаны простыми коэффициентами: $V_{конус}=\dfrac{1}{3}V_{цилиндр}$ при равных $r$ и $h$.

Алгоритм решения по шагам

1. Определить, о какой фигуре речь и что требуется найти — объём или площадь поверхности.
2. Выписать соответствующую формулу в общем виде.
3. Проверить, все ли величины в формуле известны; если нет — найти недостающую величину через дополнительные соотношения (объём, теорема Пифагора, доля от целой фигуры).
4. Подставить числовые значения и вычислить результат.
5. Проверить размерность и правдоподобность ответа (например, площадь не может быть отрицательной или мельче объёма при разумных размерах).

Разбор примеров

Пример 1. Объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен 9. Найдите объём треугольной пирамиды $ABCA_1$.

Шаг 1. Диагональная плоскость $ACC_1A_1$ делит параллелепипед на две равные треугольные призмы: $ABC$-$A_1B_1C_1$ и $ACD$-$A_1C_1D_1$. Каждая призма имеет объём, равный половине объёма параллелепипеда: $$V_{призмы\ ABCA_1B_1C_1} = \frac{9}{2} = 4{,}5.$$

Шаг 2. Пирамида $ABCA_1$ имеет основание $ABC$ (то же, что у призмы) и вершину $A_1$, лежащую на противоположной грани призмы. Такая пирамида составляет ровно $\dfrac13$ объёма призмы с тем же основанием и высотой: $$V_{ABCA_1} = \frac{1}{3}\cdot V_{призмы} = \frac{1}{3}\cdot 4{,}5 = 1{,}5.$$

Ответ: 1,5.

Пример 2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1 и 2. Объём параллелепипеда равен 6. Найдите площадь его поверхности.

Шаг 1. Обозначим рёбра $a=1$, $b=2$, третье ребро $c$ неизвестно. Из формулы объёма: $$V = abc \Rightarrow 6 = 1\cdot 2\cdot c \Rightarrow c = 3.$$

Шаг 2. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда: $$S = 2(ab+bc+ac) = 2(1\cdot2 + 2\cdot3 + 1\cdot3) = 2(2+6+3) = 2\cdot 11 = 22.$$

Ответ: 22.

Пример 3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 7 и 4, а объём параллелепипеда равен 140. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

Шаг 1. Пусть $a=7$, $b=4$, третье ребро $c$. Из объёма: $$140 = 7\cdot 4\cdot c = 28c \Rightarrow c = 5.$$

Шаг 2. Площадь полной поверхности: $$S = 2(ab+bc+ac) = 2(7\cdot4 + 4\cdot5 + 7\cdot5) = 2(28+20+35) = 2\cdot 83 = 166.$$

Ответ: 166.

Во всех трёх примерах виден общий приём: сначала находим недостающую величину (третье ребро или долю объёма), а затем подставляем её в основную формулу.

Типичные ошибки и ловушки

• Забывают коэффициент $\dfrac13$ для пирамиды и конуса. Это самая частая ошибка — путают формулу с формулой призмы или цилиндра.
• Путают площадь поверхности и площадь основания. В задачах на "площадь поверхности" нужно учитывать все грани, а не только одну.
• Неверно делят параллелепипед на части. Ошибочно считают, что пирамида, отсечённая диагональю, составляет половину или четверть объёма, хотя правильная доля — треть от призмы (см. пример 1).
• Не находят третье измерение перед подстановкой в формулу площади. Если даны только два ребра и объём, площадь нельзя посчитать без вычисления третьего ребра.
• Путают радиус и диаметр в задачах на цилиндр, конус, шар — это приводит к ошибке в 2 или 4 раза.
• Забывают удвоить площадь оснований в формуле полной поверхности призмы и цилиндра ($S_{полн}=S_{бок}+2S_{осн}$).
• Ошибки в арифметике при работе с $\pi$ — иногда в ответе нужно оставить $\pi$, а иногда её значение уже учтено в условии; внимательно читайте, какого вида ответ ожидается.

Как готовиться

Выучите формулы объёма и площади поверхности всех шести фигур наизусть — без этого задание не решить быстро. Составьте себе таблицу-шпаргалку и повторяйте её несколько раз в неделю, пока формулы не станут автоматическими. Далее тренируйтесь на задачах, где нужно сначала найти недостающий элемент (ребро, высоту, радиус) через объём или теорему Пифагора — это самый частый тип ловушки в этом задании. Отдельно разберите конфигурацию "пирамида как часть параллелепипеда или призмы" — она встречается регулярно и требует понимания долей объёма ($\dfrac12$, $\dfrac13$, $\dfrac16$ и т.п.). Решайте задачи из разных лет и сборников подряд, засекая время: на задание базового уровня должно уходить не больше 2–3 минут. После каждой ошибки возвращайтесь к формуле и проверяйте, какой шаг был упущен — это помогает закрепить алгоритм и не повторять одну и ту же ловушку на экзамене.