Задание 13: Задачи по стереометрии

Задание всегда текстовое, часто со ссылкой на рисунок ("[рисунок]"), который не влияет на числовой ответ — все данные даны в тексте. Типичные формулировки: "Найдите объём...", "Найдите площадь поверхности...", "Одно из рёбер равно..., найдите...". Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, без единиц измерения. За задание даётся 1 балл, ответ вводится без решения, поэтому засчитывается только правильное число. Половина ошибки — арифметическая, поэтому важна аккуратность вычислений, а не только знание теории.

Параллелепипед

• Объём: $V = S_{осн} \cdot h$, для прямоугольного — $V = abc$.
• Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда: $S = 2(ab+bc+ac)$.
• Диагональ прямоугольного параллелепипеда: $d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

Призма

• Объём: $V = S_{осн} \cdot h$.
• Площадь боковой поверхности прямой призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания.
• Полная поверхность: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$.

Пирамида

• Объём: $V = \dfrac{1}{3} S_{осн} \cdot h$.
• Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$.
• Важное соотношение: объём треугольной пирамиды, полученной отсечением от призмы, равен $\dfrac{1}{3}$ объёма этой призмы.

Цилиндр

• Объём: $V = \pi r^2 h$.
• Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 2\pi r h$.
• Полная поверхность: $S_{полн} = 2\pi r (r+h)$.

Конус

• Объём: $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$.
• Образующая: $l = \sqrt{r^2+h^2}$.
• Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \pi r l$.
• Полная поверхность: $S_{полн} = \pi r (r+l)$.

Шар

• Объём: $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$.
• Площадь поверхности: $S = 4\pi r^2$.

Общее правило масштабирования

• Если все линейные размеры фигуры умножить на $k$, объём умножается на $k^3$, а площадь поверхности — на $k^2$.

1. Определить, о какой фигуре речь и что требуется найти — объём или площадь поверхности.
2. Выписать соответствующую формулу в общем виде.
3. Проверить, все ли величины в формуле известны; если нет — найти недостающую величину через дополнительные соотношения (объём, теорема Пифагора, доля от целой фигуры).
4. Подставить числовые значения и вычислить результат.
5. Проверить размерность и правдоподобность ответа (например, площадь не может быть отрицательной или мельче объёма при разумных размерах).