Свойства функций и их графики — теория для ОГЭ

Коротко о главном

Функция $y=f(x)$ — это правило, по которому каждому значению $x$ из области определения соответствует ровно одно значение $y$. На ОГЭ нужно уметь по формуле или по графику находить область определения и значений, нули функции, промежутки возрастания/убывания и знакопостоянства, определять чётность/нечётность и читать графики линейной, квадратичной, обратной пропорциональности и других стандартных функций.

Определения и формулы/правила

Понятие	Определение	Как найти
Область определения $D(f)$	Все допустимые значения $x$	Исключить деление на 0, корень из отрицательного числа, лог. от неположительного
Область значений $E(f)$	Все значения $y$, которые принимает функция	По графику — проекция на ось $Oy$
Нули функции	Значения $x$, при которых $f(x)=0$	Решить уравнение $f(x)=0$ или найти точки пересечения графика с осью $Ox$
Промежутки знакопостоянства	Где $f(x)>0$ или $f(x)<0$	По графику: выше/ниже оси $Ox$
Возрастание	$x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$	График «идёт вверх» слева вправо
Убывание	$x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$	График «идёт вниз» слева вправо
Чётная функция	$f(-x)=f(x)$	График симметричен относительно оси $Oy$
Нечётная функция	$f(-x)=-f(x)$	График симметричен относительно начала координат
Точка пересечения с $Oy$	$x=0$	$y=f(0)$

Стандартные графики:

• $y=kx+b$ — прямая. Если $k>0$ — возрастает, если $k<0$ — убывает.
• $y=kx^2$ — парабола с вершиной в $(0;0)$. При $k>0$ ветви вверх, при $k<0$ — вниз.
• $y=\dfrac{k}{x}$ — гипербола, $D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$, нечётная функция.
• $y=\sqrt{x}$ — $D(f)=[0;+\infty)$, только возрастает.
• $y=|x|$ — чётная, $E(f)=[0;+\infty)$.

Как применять

Пример 1. Найдите область определения функции $y=\dfrac{1}{x-3}$. Решение: знаменатель не должен равняться нулю: $x-3\ne0 \Rightarrow x\ne3$. Ответ: $D(f)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$.

Пример 2. По графику функции определить, на каком промежутке функция убывает, если известно, что вершина параболы $y=-x^2+4x$ находится в точке с абсциссой $x=2$. Решение: ветви параболы направлены вниз ($k=-1<0$), значит функция возрастает до вершины и убывает после неё. Функция убывает на промежутке $[2;+\infty)$.

Пример 3. Проверить чётность функции $f(x)=x^2-5$. Решение: $f(-x)=(-x)^2-5=x^2-5=f(x)$. Функция чётная — график симметричен относительно оси $Oy$.

Типичные ошибки

• Путают область определения ($x$) и область значений ($y$) — важно чётко разделять, по какой оси искать ответ.
• Забывают исключить точки, где знаменатель равен нулю или подкоренное выражение отрицательно.
• Неверно определяют направление возрастания/убывания — читают график справа налево вместо слева направо.
• Путают чётность и нечётность: считают, что если график проходит через начало координат, значит функция нечётная (это не всегда так).
• При анализе графика по рисунку не учитывают открытые/закрытые точки (выколотые точки не входят в область).

Где встречается на экзамене

Задание 11 — обычно требует определить свойства функции по формуле или по заданному графику: найти нули, промежутки знакопостоянства, возрастания/убывания, значение функции в точке. Задание 22 — часто просит построить график функции (в том числе кусочной) и по нему определить какое-то свойство или сравнить несколько функций. Умение быстро узнавать стандартные графики и их характеристики значительно ускоряет решение обеих задач.