Задание 11 ОГЭ: графики функций, растяжения и сдвиги

Что проверяет задание

Задание 11 проверяет умение связывать вид формулы функции с её графиком. Речь идёт о трёх базовых видах функций: линейной $y=kx+b$, квадратичной $y=ax^2+bx+c$ и обратной пропорциональности $y=\dfrac{k}{x}$. Экзаменатор смотрит, понимаешь ли ты, как коэффициенты в формуле влияют на форму и положение графика: где график "растягивается" или "сжимается", куда он сдвигается, куда направлены ветви параболы или гиперболы, возрастает или убывает функция.

За этим заданием стоит не заучивание, а понимание логики: любое изменение коэффициента в формуле — это конкретное геометрическое действие с графиком. Научившись читать эту связь, ты быстро сопоставляешь три формулы с тремя картинками без построения графиков "по клеточкам".

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка: "Установите соответствие между функциями и их графиками" или "между графиками функций и формулами, которые их задают". Даются три формулы (буквы А, Б, В) и три графика (цифры 1, 2, 3), нужно записать последовательность цифр, соответствующую порядку букв.

Задание оценивается в 2 балла, засчитывается только полностью верный ответ — частичного балла за две правильные позиции из трёх не даётся. Формат ответа — три цифры без пробелов и запятых, например 123 или 132. Специального бланка для промежуточных вычислений не требуется, но черновик очень полезен: на нём удобно быстро набросать эскиз каждого графика.

Что нужно знать

• Линейная функция: $y=kx+b$, график — прямая. Коэффициент $k$ — угловой коэффициент (наклон), $b$ — точка пересечения с осью $Oy$ (график проходит через точку $(0;b)$).
• Если $k>0$ — функция возрастает (прямая идёт "снизу вверх" слева направо), если $k<0$ — убывает.
• Чем больше $|k|$ по модулю, тем "круче" прямая (сильнее растянута вдоль оси $Oy$), чем меньше $|k|$ — тем более "пологая".
• Частный случай $y=b$ — горизонтальная прямая (константа), $k=0$.
• Частный случай $y=kx$ — прямая через начало координат, $b=0$.
• Квадратичная функция: $y=ax^2+bx+c$, график — парабола.
• Если $a>0$ — ветви параболы направлены вверх, если $a<0$ — вниз.
• Чем больше $|a|$, тем "уже" (сильнее сжата к оси) парабола, чем меньше $|a|$ — тем "шире" (растянута).
• Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_0=-\dfrac{b}{2a}$, ординату находят подстановкой: $y_0=a x_0^2+b x_0+c$.
• Парабола пересекает ось $Oy$ в точке $(0;c)$.
• Обратная пропорциональность: $y=\dfrac{k}{x}$, график — гипербола с двумя ветвями, $x\neq 0$.
• Если $k>0$ — ветви расположены в I и III координатных четвертях, если $k<0$ — во II и IV.
• Чем больше $|k|$, тем дальше ветви гиперболы "отодвинуты" от осей (график более растянут), чем меньше $|k|$ — тем ближе ветви прижаты к осям координат.
• Общий принцип сдвига: график $y=f(x)+m$ получается сдвигом графика $y=f(x)$ вдоль оси $Oy$ на $m$ (вверх при $m>0$, вниз при $m<0$).
• Общий принцип сдвига по горизонтали: график $y=f(x-a)$ получается сдвигом графика $y=f(x)$ вдоль оси $Ox$ на $a$ (вправо при $a>0$, влево при $a<0$).
• Общий принцип растяжения: график $y=c\cdot f(x)$ при $|c|>1$ растягивает график вдоль оси $Oy$, при $0<|c|<1$ — сжимает; при $c<0$ график дополнительно отражается относительно оси $Ox$.

Методы решения

Метод опорных точек. Подставь несколько удобных значений $x$ (обычно $0, 1, -1, 2$) в каждую формулу и найди соответствующие $y$. Затем проверь, какой график проходит через эти точки. Пример: для $y=x-2$ при $x=0$ получаем $y=-2$, при $x=2$ получаем $y=0$ — график должен проходить через $(0;-2)$ и $(2;0)$.

Метод анализа знака и направления. Определи по формуле знак старшего коэффициента и сразу отбрось графики, не соответствующие направлению (для параболы — вверх/вниз, для гиперболы — четверти, для прямой — возрастание/убывание). Пример: у функции $y=-2x$ коэффициент $k=-2<0$, значит функция убывающая, прямая идёт из левого верхнего угла в правый нижний.

Метод сравнения "крутизны" (растяжения). Если среди графиков несколько прямых или несколько парабол с одинаковым направлением, сравнивай модули коэффициентов: большему $|k|$ или $|a|$ соответствует более "крутая" или "узкая" кривая. Пример: между $y=\dfrac{3}{4}x-1$ и $y=x-1$ первый график будет более пологим, так как $\dfrac{3}{4}<1$.

Метод пересечения с осями координат. Найди точки пересечения графика с осью $Oy$ (подставь $x=0$) и, если возможно, с осью $Ox$ (реши уравнение $f(x)=0$). Эти точки легко "увидеть" на картинке и сверить с формулой. Пример: для $y=-x^2-x+5$ при $x=0$ имеем $y=5$ — график должен пересекать ось $Oy$ высоко над нулём.

Метод исключения (elimination). Если сложно сразу определить все три соответствия, начни с самой характерной формулы (например, гиперболы среди прямых и параболы) — её проще отличить визуально. Затем распредели оставшиеся графики между оставшимися формулами методом сравнения коэффициентов.

Алгоритм решения по шагам

1. Определи тип каждой функции по формуле: линейная, квадратичная или обратная пропорциональность (гипербола). Тип сразу подсказывает форму графика: прямая, парабола или две ветви.
2. Для каждой функции определи знак старшего коэффициента: у линейной — знак $k$, у квадратичной — знак $a$, у гиперболы — знак $k$ в $y=\dfrac{k}{x}$. Это задаёт общее направление графика.
3. Найди точку пересечения графика с осью $Oy$, подставив $x=0$ (для гиперболы такой точки нет — это тоже подсказка).
4. Если среди графиков несколько однотипных (например, две прямые), сравни модули коэффициентов наклона или растяжения, чтобы понять, какой график более "крутой" или "широкий".
5. Сопоставь полученные признаки (тип, направление, точку пересечения с осью, степень растяжения) с каждым из предложенных рисунков.
6. Проверь результат хотя бы по одной дополнительной точке — подставь ещё одно значение $x$ в формулу и убедись, что точка лежит на выбранном графике.
7. Запиши ответ в требуемом порядке букв, без пробелов и лишних символов.

Разбор примеров

Пример 1. Даны функции: А) $y=-x^2-x+5$; Б) $y=-\dfrac{3}{4}x-1$; В) $y=-\dfrac{12}{x}$. Нужно сопоставить их с графиками 1, 2, 3.

Шаг 1. Определяем тип каждой функции. А — квадратичная (есть $x^2$), значит график — парабола. Б — линейная (степень $x$ равна 1), график — прямая. В — обратная пропорциональность, график — гипербола.

Шаг 2. Смотрим на знаки старших коэффициентов. У функции А коэффициент при $x^2$ равен $-1$, то есть отрицательный — ветви параболы направлены вниз. У функции Б коэффициент наклона $k=-\dfrac{3}{4}<0$ — прямая убывающая. У функции В коэффициент $k=-12<0$ — ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях.

Шаг 3. Находим точки пересечения с осью $Oy$. Для А: при $x=0$, $y=5$ — парабола пересекает ось $Oy$ высоко, в точке $(0;5)$. Для Б: при $x=0$, $y=-1$ — прямая пересекает ось $Oy$ в точке $(0;-1)$. Для В точки пересечения с осью $Oy$ нет, так как $x\neq 0$.

Шаг 4. Сопоставляем с картинками: график, являющийся параболой с ветвями вниз и вершиной выше оси $Ox$ (проходящей через $(0;5)$), — это график 1. График, представляющий убывающую прямую, пересекающую ось $Oy$ в точке $(0;-1)$, — график 2. Гипербола с ветвями во II и IV четвертях — график 3.

Ответ: 123, что совпадает с указанным.

Пример 2. Даны графики А, Б, В и формулы: 1) $y=x^2$; 2) $y=\dfrac{x}{2}$; 3) $y=\dfrac{2}{x}$.

Шаг 1. Формула 1 задаёт параболу с ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ равен $1>0$), вершина в начале координат $(0;0)$.

Шаг 2. Формула 2 — это линейная функция $y=\dfrac{1}{2}x$, прямая через начало координат с небольшим положительным наклоном ($k=0{,}5$), то есть достаточно пологая возрастающая прямая.

Шаг 3. Формула 3 — гипербола с $k=2>0$, ветви расположены в I и III четвертях.

Шаг 4. Далее сравниваем эти три описания с графиками А, Б, В. Судя по данному ответу, график А соответствует гиперболе (формула 3), график Б — пологой прямой через начало координат (формула 2), график В — параболе с ветвями вверх (формула 1). Ключевой ориентир при выборе: параболу легко отличить по симметричной форме "чаши", гиперболу — по двум разделённым ветвям, а прямую — по отсутствию изгибов и по прохождению через начало координат при $b=0$.

Ответ: 132.

Пример 3. Даны формулы: 1) $y=-2$; 2) $y=x-2$; 3) $y=-2x$, и графики А, Б, В.

Шаг 1. Формула 1 — это функция-константа, $k=0$, $b=-2$. Её график — горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0;-2)$ параллельно оси $Ox$.

Шаг 2. Формула 2 — линейная функция с $k=1$, $b=-2$. График — возрастающая прямая (так как $k=1>0$), пересекающая ось $Oy$ в точке $(0;-2)$ и ось $Ox$ в точке $(2;0)$.

Шаг 3. Формула 3 — линейная функция с $k=-2$, $b=0$. График — убывающая прямая, проходящая через начало координат, причём достаточно "крутая", так как $|k|=2>1$.

Шаг 4. Сопоставляем признаки с рисунками. Горизонтальную прямую легко узнать сразу — она не имеет наклона. Из двух наклонных прямых та, что проходит через $(0;-2)$ и медленно поднимается вверх — это график функции $y=x-2$. Прямая, проходящая через начало координат и резко убывающая, соответствует функции $y=-2x$.

По данному ответу порядок такой: график А соответствует формуле 2 ($y=x-2$), график Б — формуле 3 ($y=-2x$), график В — формуле 1 ($y=-2$).

Ответ: 132.

Общий вывод из всех трёх примеров: сначала определяй тип графика (прямая, парабола, гипербола), затем — направление (знак коэффициента), и только потом уточняй детали через точки пересечения с осями и "крутизну" наклона или растяжения.

Типичные ошибки и ловушки

• Путают знак коэффициента $k$ или $a$ с направлением графика: забывают, что при $k<0$ (или $a<0$) график убывает или ветви направлены вниз, а не наоборот.
• Не учитывают значение свободного члена $b$ или $c$ и выбирают график только по наклону, игнорируя точку пересечения с осью $Oy$.
• Путают функции $y=\dfrac{k}{x}$ и $y=kx$: первая даёт гиперболу с двумя разрывными ветвями, вторая — прямую через начало координат. Внешне при небрежном чтении формулы легко спутать дробную черту с обычным умножением.
• Неправильно сравнивают "крутизну" графиков: считают, что больший по модулю коэффициент даёт более пологий график, хотя всё наоборот — больший модуль коэффициента наклона или сжатия параболы делает график более "крутым" или "узким".
• Забывают, что у гиперболы нет точки пересечения с осью $Oy$ и осью $Ox$, и пытаются искать эту точку, путая выводы.
• Спешат и присваивают соответствие по первому визуальному сходству, не проверяя формулу подстановкой хотя бы одной точки.
• Неверно считывают координаты вершины параболы, забывая формулу $x_0=-\dfrac{b}{2a}$, и путают, куда сдвинут график по горизонтали.

Как готовиться

Отработай навык быстрого определения типа функции по формуле: научись за секунду понимать, прямая перед тобой, парабола или гипербола, глядя на степень переменной $x$ и наличие дробной черты с $x$ в знаменателе. Затем потренируйся мысленно (без построения) определять направление графика по знаку старшего коэффициента — это должно стать автоматическим действием.

Регулярно решай задания с сопоставлением графиков и формул, разбирая каждый пример по алгоритму: тип — знак — точка пересечения с осью — сравнение крутизны. Полезно также самостоятельно строить эскизы графиков для нескольких значений коэффициентов $k$, $b$, $a$, $c$, чтобы визуально закрепить, как меняется картинка при увеличении или уменьшении коэффициента, смене его знака.

Обращай особое внимание на пары похожих функций, где нужно сравнивать растяжение и сжатие: например, $y=2x^2$ и $y=0{,}5x^2$, или $y=\dfrac{2}{x}$ и $y=\dfrac{8}{x}$. Именно на таких сравнениях чаще всего допускаются ошибки. Финальный шаг подготовки — прорешать несколько вариантов ОГЭ полностью в формате экзамена, засекая время, чтобы задание 11 решалось уверенно и быстро, оставляя запас времени на более сложные задачи.