Задание 22 ОГЭ: параболы, гиперболы и кусочные функции с выколотыми точками

Что проверяет задание

Задание 22 проверяет умение работать с графиками функций на серьёзном уровне: не просто узнавать параболу или гиперболу по виду, а анализировать сложные выражения, которые после преобразований сводятся к знакомым функциям. Ключевая идея задания — функция задаётся дробью, где числитель и знаменатель раскладываются на множители, часть множителей сокращается, но при этом остаются точки, где исходная функция не определена. Такие точки превращаются в «выколотые» — их нужно找ти и учесть при ответе на вопрос о пересечении графика с прямой.

Задание проверяет сразу несколько навыков: разложение многочленов на множители, работу с областью определения, построение параболы по формуле вершины, а также умение решать уравнения с параметром — сколько точек пересечения даёт прямая $y=m$ или $y=kx$ с построенным графиком.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка: «Постройте график функции $y=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку». Иногда вместо горизонтальной прямой $y=m$ используется прямая, проходящая через начало координат: $y=kx$.

Задание оценивается в 2 балла при полном и верном решении: правильно построен график (с учётом выколотых точек) и верно найдены все значения параметра. Если график построен верно, но допущена ошибка в поиске значений параметра (или наоборот), выставляется 1 балл. Задание относится к повышенному уровню сложности и требует аккуратного пошагового решения без права на арифметическую небрежность.

Что нужно знать

• Парабола $y=ax^2+bx+c$ имеет вершину в точке $x_0=-\dfrac{b}{2a}$, $y_0=ax_0^2+bx_0+c$; при $a>0$ ветви направлены вверх, при $a<0$ — вниз.
• Формула выделения полного квадрата: $ax^2+bx+c=a\left(x-x_0\right)^2+y_0$, где $x_0=-\dfrac{b}{2a}$.
• Гипербола $y=\dfrac{k}{x}$ определена при $x\neq 0$, симметрична относительно начала координат, ось $x=0$ и ось $y=0$ являются асимптотами.
• Область определения дробно-рациональной функции $y=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ — это все $x$, при которых $Q(x)\neq 0$.
• Разложение квадратного трёхчлена на множители: если $x_1,x_2$ — корни уравнения $ax^2+bx+c=0$, то $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.
• Теорема Виета: для уравнения $x^2+px+q=0$ сумма корней $x_1+x_2=-p$, произведение $x_1x_2=q$.
• Дискриминант квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$: $D=b^2-4ac$. Если $D=0$ — один корень (касание), если $D>0$ — два корня, если $D<0$ — корней нет.
• Выколотая точка на графике — точка, которая исключена из графика из-за ограничения области определения, хотя формально удовлетворяет упрощённому уравнению.
• Условие ровно одной общей точки прямой и графика может выполняться двумя способами: либо прямая касается параболы (дискриминант равен нулю), либо прямая пересекает параболу в двух точках, но одна из них совпадает с выколотой.

Методы решения

Метод 1. Разложение числителя и знаменателя на множители. Это первый и главный шаг для любой дробно-рациональной функции в этом задании. Например, в выражении $y=\dfrac{x^2-5x+6}{x-2}$ числитель раскладывается как $(x-2)(x-3)$, и после сокращения получаем $y=x-3$ при $x\neq 2$ — прямую с выколотой точкой.

Метод 2. Приведение к параболе с выколотой точкой. После сокращения дроби часто получается квадратичная функция вида $y=ax^2+bx+c$, но с ограничением $x\neq x_0$. Строится обычная парабола, а в точке с абсциссой $x_0$ отмечается выкол — открытый кружок.

Метод 3. Работа с гиперболой при сокращении знака. Если знаменатель отличается от множителя числителя знаком, например $\dfrac{x-1}{1-x}=-1$ при $x\neq 1$, важно не забыть про смену знака всего выражения. Мини-пример: $y=\dfrac{(x^2+4)(x-1)}{1-x}=-(x^2+4)$ при $x\neq 1$ — это перевёрнутая парабола с выколотой точкой при $x=1$.

Метод 4. Поиск значений параметра через дискриминант. Если после упрощения функция стала параболой $y=ax^2+bx+c$, то для прямой $y=m$ уравнение $ax^2+bx+c=m$ имеет один корень, когда дискриминант равен нулю — это соответствует вершине параболы, то есть $m=y_0$.

Метод 5. Учёт выколотой точки при подсчёте пересечений. Если прямая $y=m$ (или $y=kx$) проходит через ординату выколотой точки, то при этом значении параметра прямая формально пересекает параболу в двух точках, но одна из них выколота — фактическое число общих точек с графиком уменьшается до одной. Такие значения параметра тоже входят в ответ.

Алгоритм решения по шагам

1. Разложить числитель и знаменатель дроби на множители (квадратные трёхчлены — через дискриминант или теорему Виета).
2. Найти область определения — значения $x$, при которых знаменатель обращается в нуль.
3. Сократить дробь, получив упрощённую функцию (обычно линейную или квадратичную), не забывая указать исключённые значения $x$.
4. Вычислить ординаты выколотых точек, подставив исключённые значения $x$ в упрощённую функцию.
5. Построить график упрощённой функции (парабола, гипербола или прямая), отметив выколотые точки открытыми кружками.
6. Записать уравнение для нахождения точек пересечения с прямой ($y=m$ или $y=kx$) и определить, при каких значениях параметра дискриминант равен нулю (касание).
7. Отдельно проверить, при каких значениях параметра прямая проходит через ординату выколотой точки — эти значения тоже могут давать ровно одну общую точку.
8. Объединить все найденные значения параметра в итоговый ответ, убедившись, что не упущен ни один случай.

Разбор примеров

Пример 1. Дана функция $y=\dfrac{(x+4)(x^2+3x+2)}{x+1}$. Требуется определить, при каких $m$ прямая $y=m$ пересекает график ровно в одной точке.

Разложим квадратный трёхчлен: $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$. Тогда $$y=\dfrac{(x+4)(x+1)(x+2)}{x+1}=(x+4)(x+2),\quad x\neq -1.$$ Раскрываем скобки: $y=x^2+6x+8=(x+3)^2-1$. Это парабола с вершиной в точке $(-3,-1)$, ветви направлены вверх.

Находим ординату выколотой точки при $x=-1$: подставляем в упрощённую формулу $(x+4)(x+2)=(-1+4)(-1+2)=3\cdot1=3$. Значит, точка $(-1,3)$ выколота.

Теперь определяем значения $m$. Прямая $y=m$ касается параболы в вершине при $m=-1$ — это даёт ровно одну точку пересечения. При остальных $m>-1$ прямая пересекает параболу в двух точках, кроме случая, когда одна из этих точек совпадает с выколотой $(-1,3)$: при $m=3$ прямая формально даёт два решения уравнения $x^2+6x+8=3$, но одно из них — это $x=-1$, которое исключено, значит остаётся ровно одна точка. Других особых случаев нет, поскольку при $m<-1$ пересечений нет вообще (парабола не опускается ниже $-1$).

Итоговый ответ: $m=-1$ или $m=3$.

Пример 2. Функция $y=\dfrac{(x^2+7x+12)(x^2-x-2)}{x^2+5x+4}$.

Разлагаем все трёхчлены на множители: $x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$, $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$, $x^2+5x+4=(x+1)(x+4)$. Тогда $$y=\dfrac{(x+3)(x+4)(x-2)(x+1)}{(x+1)(x+4)}=(x+3)(x-2),\quad x\neq -1,\ x\neq -4.$$ Раскрываем: $y=x^2+x-6$. Выделяем полный квадрат: $x_0=-\dfrac{1}{2}=-0{,}5$, $y_0=(-0{,}5)^2+(-0{,}5)-6=0{,}25-0{,}5-6=-6{,}25$. Вершина параболы — точка $(-0{,}5;-6{,}25)$.

Находим ординаты выколотых точек. При $x=-1$: $y=(-1+3)(-1-2)=2\cdot(-3)=-6$. При $x=-4$: $y=(-4+3)(-4-2)=(-1)\cdot(-6)=6$. Получаем две выколотые точки: $(-1,-6)$ и $(-4,6)$.

Теперь ищем значения $m$, при которых прямая $y=m$ даёт ровно одну общую точку с графиком. Первый случай — вершина параболы: $m=-6{,}25$, здесь единственная точка касания. Второй и третий случаи — значения $m$, соответствующие ординатам выколотых точек: $m=-6$ и $m=6$. При этих значениях прямая пересекает параболу в двух точках, но одна из них выколота, поэтому фактически остаётся только одна точка графика.

Итоговый ответ: $m=-6{,}25$; $m=-6$; $m=6$.

Пример 3. Функция $y=\dfrac{(x^2+2{,}25)(x-1)}{1-x}$, прямая задана как $y=kx$.

Заметим, что $1-x=-(x-1)$, поэтому $$y=\dfrac{(x^2+2{,}25)(x-1)}{-(x-1)}=-(x^2+2{,}25),\quad x\neq 1.$$ Это перевёрнутая парабола $y=-x^2-2{,}25$ с вершиной в точке $(0,-2{,}25)$, ветви направлены вниз.

Ордината выколотой точки при $x=1$: $y=-(1+2{,}25)=-3{,}25$. Точка $(1,-3{,}25)$ выколота.

Теперь решаем задачу с прямой $y=kx$, проходящей через начало координат. Приравниваем: $kx=-x^2-2{,}25$, то есть $x^2+kx+2{,}25=0$ при условии $x\neq 1$.

Случай касания: дискриминант равен нулю. $D=k^2-4\cdot2{,}25=k^2-9=0$, откуда $k=3$ или $k=-3$. Проверяем, не совпадает ли корень касания с $x=1$. При $k=3$: $x^2+3x+2{,}25=0$, то есть $(x+1{,}5)^2=0$, корень $x=-1{,}5\neq1$ — подходит. При $k=-3$: $(x-1{,}5)^2=0$, корень $x=1{,}5\neq1$ — тоже подходит.

Теперь проверяем случай, когда прямая проходит через выколотую точку $(1,-3{,}25)$: подставляем координаты в $y=kx$, получаем $-3{,}25=k\cdot1$, откуда $k=-3{,}25$. Проверим, сколько точек пересечения даёт это значение: уравнение $x^2-3{,}25x+2{,}25=0$. Дискриминант $D=3{,}25^2-4\cdot2{,}25=10{,}5625-9=1{,}5625=1{,}25^2$. Корни: $x=\dfrac{3{,}25\pm1{,}25}{2}$, то есть $x=2{,}25$ или $x=1$. Корень $x=1$ выколот, остаётся только $x=2{,}25$ — ровно одна точка на графике, что нам и нужно.

Итоговый ответ: $k=-3{,}25$; $k=-3$; $k=3$.

Типичные ошибки и ловушки

Самая частая ошибка — забыть про выколотую точку после сокращения дроби. Школьник упрощает выражение, строит красивую параболу или прямую, но не указывает исключённое значение $x$, из-за чего теряет одно или несколько значений параметра в ответе.

Вторая распространённая ошибка — неверное разложение квадратного трёхчлена на множители, особенно когда корни дробные или отрицательные. Стоит всегда проверять разложение обратным раскрытием скобок.

Третья ошибка — путаница со знаком при сокращении дроби вида $\dfrac{x-a}{a-x}$. Здесь важно помнить, что $\dfrac{x-a}{a-x}=-1$, а не $1$, и эта смена знака меняет направление ветвей параболы.

Четвёртая ловушка — забыть проверить, не совпадает ли корень уравнения касания (при $D=0$) с исключённым значением $x$. Если совпадает, то это значение параметра нужно исключить из ответа, а не включать.

Пятая ошибка — при работе с прямой $y=kx$ забывают, что она обязательно проходит через начало координат, и неправильно составляют уравнение пересечения, теряя множитель $x$ при переносе слагаемых.

Как готовиться

Отработайте навык быстрого разложения квадратных трёхчленов на множители — через дискриминант и через теорему Виета, чтобы не тратить время на подбор. Решите десяток однотипных заданий с дробно-рациональными функциями, где явно нужно сокращать общие множители в числителе и знаменателе — это выработает автоматизм в поиске выколотых точек.

Обязательно тренируйтесь строить эскизы парабол по формуле вершины без построения таблицы значений — это экономит время на экзамене. Разбирайте отдельно случаи с прямой $y=m$ и с прямой $y=kx$, поскольку логика поиска параметра немного различается: в первом случае ищутся горизонтальные касательные и совпадения с выколотыми точками, во втором — решается квадратное уравнение с параметром внутри коэффициента.

Полезно вести таблицу разобранных примеров с указанием, где ответ определялся вершиной параболы, а где — выколотой точкой, чтобы видеть закономерность и не пропускать случаи. Регулярно решайте задания из открытого банка заданий ОГЭ на эту тему, засекая время выполнения, чтобы довести алгоритм до автоматизма и укладываться в отведённые на экзамене минуты.