Задание 22: Функции и их свойства. Графики функций

Типичная формулировка: «Постройте график функции $y=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку». Иногда вместо горизонтальной прямой $y=m$ используется прямая, проходящая через начало координат: $y=kx$.

…

• Парабола $y=ax^2+bx+c$ имеет вершину в точке $x_0=-\dfrac{b}{2a}$, $y_0=ax_0^2+bx_0+c$; при $a>0$ ветви направлены вверх, при $a<0$ — вниз.
• Формула выделения полного квадрата: $ax^2+bx+c=a\left(x-x_0\right)^2+y_0$, где $x_0=-\dfrac{b}{2a}$.
• Гипербола $y=\dfrac{k}{x}$ определена при $x\neq 0$, симметрична относительно начала координат, ось $x=0$ и ось $y=0$ являются асимптотами.
• Область определения дробно-рациональной функции $y=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ — это все $x$, при которых $Q(x)\neq 0$.
• Разложение квадратного трёхчлена на множители: если $x_1,x_2$ — корни уравнения $ax^2+bx+c=0$, то $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.
• Теорема Виета: для уравнения $x^2+px+q=0$ сумма корней $x_1+x_2=-p$, произведение $x_1x_2=q$.
• Дискриминант квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$: $D=b^2-4ac$. Если $D=0$ — один корень (касание), если $D>0$ — два корня, если $D<0$ — корней нет.
• Выколотая точка на графике — точка, которая исключена из графика из-за ограничения области определения, хотя формально удовлетворяет упрощённому уравнению.
• Условие ровно одной общей точки прямой и графика может выполняться двумя способами: либо прямая касается параболы (дискриминант равен нулю), либо прямая пересекает параболу в двух точках, но одна из них совпадает с выколотой.

1. Разложить числитель и знаменатель дроби на множители (квадратные трёхчлены — через дискриминант или теорему Виета).
2. Найти область определения — значения $x$, при которых знаменатель обращается в нуль.
3. Сократить дробь, получив упрощённую функцию (обычно линейную или квадратичную), не забывая указать исключённые значения $x$.
4. Вычислить ординаты выколотых точек, подставив исключённые значения $x$ в упрощённую функцию.
5. Построить график упрощённой функции (парабола, гипербола или прямая), отметив выколотые точки открытыми кружками.
6. Записать уравнение для нахождения точек пересечения с прямой ($y=m$ или $y=kx$) и определить, при каких значениях параметра дискриминант равен нулю (касание).
7. Отдельно проверить, при каких значениях параметра прямая проходит через ординату выколотой точки — эти значения тоже могут давать ровно одну общую точку. …