Свойства числовых неравенств: правила и формулы для ОГЭ

Коротко о главном

Числовое неравенство — это запись вида $a>b$, $a<b$, $a\ge b$ или $a\le b$. Работа с неравенствами строится на нескольких базовых свойствах: их можно складывать, умножать, менять части местами по строгим правилам. Главная ловушка ОГЭ — умножение или деление на отрицательное число, при котором знак неравенства обязательно меняется на противоположный. Все задания 7 и 13 сводятся к аккуратному применению этих свойств без арифметических ошибок.

Определения и формулы/правила

Числовое неравенство — сравнение двух чисел или выражений с помощью знаков $>,\;<,\;\ge,\;\le$.

№	Свойство	Формулировка	Пример
1	Транзитивность	Если $a>b$ и $b>c$, то $a>c$	$5>3,\;3>1 \Rightarrow 5>1$
2	Сложение с числом	Если $a>b$, то $a+c>b+c$ для любого $c$	$7>4 \Rightarrow 7+2>4+2$
3	Сложение неравенств одного знака	Если $a>b$ и $c>d$, то $a+c>b+d$	$5>3,\;4>1 \Rightarrow 9>4$
4	Умножение на положительное число	Если $a>b$ и $c>0$, то $ac>bc$	$5>2 \Rightarrow 5\cdot 3>2\cdot 3$
5	Умножение на отрицательное число	Если $a>b$ и $c<0$, то $ac<bc$ (знак меняется!)	$5>2 \Rightarrow 5\cdot(-1)<2\cdot(-1)$, т.е. $-5<-2$
6	Умножение неравенств (обе части положительны)	Если $a>b>0$ и $c>d>0$, то $ac>bd$	$5>3>0,\;4>2>0 \Rightarrow 20>6$
7	Возведение в степень (положительные числа)	Если $a>b>0$, то $a^n>b^n$ для натурального $n$	$5>3 \Rightarrow 25>9$
8	Обратные величины (одного знака)	Если $a>b>0$, то $\dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{b}$	$5>2>0 \Rightarrow \dfrac15<\dfrac12$
9	Смена частей	$a>b \Leftrightarrow b<a$	$7>3 \Leftrightarrow 3<7$

Важное замечание к свойству 3: вычитать неравенства напрямую нельзя, а складывать можно только неравенства одного знака. Если знаки разные, сначала нужно один из них перевернуть (умножить на $-1$, поменяв знак неравенства), а затем складывать.

Общий принцип: любое действие, которое можно проделать с обеими частями неравенства одновременно и одинаково, сохраняет неравенство, если действие «монотонно возрастающее» (сложение любого числа, умножение на положительное число), и меняет знак, если действие «монотонно убывающее» (умножение/деление на отрицательное число).

Как применять

Пример 1. Известно, что $3<x<5$. Оценить $2x-1$.

Умножаем всё неравенство на $2>0$ (знак не меняется): $$6<2x<10$$ Вычитаем 1 (то есть складываем с $-1$, знак не меняется): $$5<2x-1<9$$ Ответ: $5<2x-1<9$.

Пример 2. Дано $-4<x<-2$. Оценить $-3x+1$.

Умножаем на $-3$ (число отрицательное — знак меняется, крайние части меняются местами): $$12>-3x>6 \quad \Leftrightarrow \quad 6<-3x<12$$ Добавляем 1: $$7<-3x+1<13$$

Пример 3. Известно $2<a<3$ и $1<b<2$. Оценить $a+b$ и $a-b$.

Сложение (знаки одинаковые «$<$» с двух сторон каждой цепочки складываем почленно): $$2+1<a+b<3+2 \Rightarrow 3<a+b<5$$

Для разности $a-b$ нельзя вычитать неравенства напрямую. Сначала переворачиваем неравенство для $b$: из $1<b<2$ следует $-2<-b<-1$ (умножили на $-1$). Теперь складываем с $2<a<3$: $$2+(-2)<a-b<3+(-1) \Rightarrow 0<a-b<2$$

Типичные ошибки

• Забывают менять знак при умножении/делении обеих частей неравенства на отрицательное число.
• Вычитают неравенства почленно, считая это допустимой операцией (правильно — переворачивать и складывать).
• Складывают неравенства с разными знаками ($a>b$ и $c<d$) без предварительного приведения к одному знаку.
• При оценке выражения вида $ka+b$ применяют разные операции к частям неравенства неодинаково — например, умножают только левую часть.
• Путают направление при переносе крайних значений цепочки $m<x<n$ после умножения на отрицательное число — забывают, что $m$ и $n$ также меняются местами.
• Считают, что из $a>b$ автоматически следует $a^2>b^2$ — это верно только при $a,b\ge 0$; при отрицательных числах правило не работает (например, $-5<-3$, но $25>9$).

Где встречается на экзамене

В задании 7 ОГЭ обычно нужно сравнить числовые выражения, оценить значение суммы/разности/произведения при известных границах переменных, определить, какое из утверждений о неравенствах верно. В задании 13 свойства неравенств применяются при решении систем неравенств и при обосновании этапов преобразования сложных выражений — умение аккуратно менять знак и складывать цепочки неравенств напрямую влияет на правильность итогового ответа.