Задание 13 ОГЭ: неравенства и системы неравенств — полный разбор

Что проверяет задание

Задание 13 проверяет умение работать с неравенствами и системами неравенств — базовый навык, без которого невозможно решать текстовые задачи, изучать функции и работать с областями определения. Проверяются три ключевых компетенции:

• умение раскрывать скобки и переносить слагаемые, сохраняя знак неравенства верным;
• умение решать квадратные неравенства через корни квадратного трёхчлена и метод интервалов;
• умение находить пересечение решений в системе неравенств и правильно записывать ответ в виде промежутка.

Задание часто даётся в тестовой форме — с готовыми вариантами ответа или с рисунками числовой прямой, поэтому важно не только решить неравенство, но и верно сопоставить результат с предложенными вариантами.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка: «Решите неравенство... В ответе укажите номер правильного варианта» или «Решите неравенство и определите, на каком рисунке изображено множество его решений». Иногда встречается прямая просьба записать ответ в виде промежутка без вариантов.

Задание оценивается в 1 балл. Ответ — это либо номер варианта (1–4), либо запись промежутка. Ошибка в знаке неравенства при делении на отрицательное число или невнимательность при сопоставлении с рисунком — самые частые причины потери балла.

Что нужно знать

• Линейное неравенство — неравенство вида $ax+b>0$ (или с другим знаком: $<, \leq, \geq$), где $a\neq0$.
• Правило переноса слагаемых: слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя его знак, — сам знак неравенства при этом не меняется.
• Правило умножения/деления: при умножении или делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется; при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
• Квадратное неравенство — неравенство вида $ax^2+bx+c>0$ (или с другим знаком), где $a\neq0$.
• Дискриминант квадратного трёхчлена: $D=b^2-4ac$. Корни (если $D\geq0$): $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$.
• Парабола и знаки трёхчлена: если $a>0$, ветви параболы направлены вверх, трёхчлен отрицателен между корнями и положителен вне их; если $a<0$ — наоборот.
• Метод интервалов — универсальный способ решения неравенств вида $f(x)>0$ через разбиение числовой прямой корнями функции на промежутки знакопостоянства.
• Система неравенств — совокупность нескольких неравенств, которые должны выполняться одновременно; решение системы — это пересечение множеств решений каждого неравенства.
• Обозначения промежутков: $(a;b)$ — открытый интервал (концы не включены), $[a;b]$ — отрезок (концы включены), $(-\infty;a)$, $(a;+\infty)$ — бесконечные лучи.

Методы решения

1. Приведение линейного неравенства к стандартному виду. Раскрываем скобки, переносим неизвестные в одну часть, числа — в другую, приводим подобные слагаемые и делим на коэффициент при $x$.

Пример: решить $3(x-1)>x+5$. Раскрываем скобки: $3x-3>x+5$. Переносим: $3x-x>5+3$, то есть $2x>8$, значит $x>4$.

2. Метод интервалов для квадратного неравенства. Находим корни квадратного трёхчлена через дискриминант, отмечаем их на числовой прямой, определяем знак трёхчлена на каждом промежутке (используя знак старшего коэффициента $a$ и правило чередования знаков, если корни различны).

Пример: решить $x^2-5x+6>0$. Находим корни: $D=25-24=1$, $x_1=2$, $x_2=3$. Поскольку $a=1>0$, трёхчлен положителен вне корней: $x<2$ или $x>3$.

3. Разложение на множители через теорему Виета. Если корни легко подбираются, квадратный трёхчлен удобно представить как произведение $(x-x_1)(x-x_2)$ и анализировать знак произведения.

Пример: решить $x^2-3x-4\leq0$. По теореме Виета корни $x_1=-1$, $x_2=4$ (сумма $3$, произведение $-4$). Трёхчлен неотрицателен между корнями: $-1\leq x\leq4$.

4. Пересечение решений в системе неравенств. Решаем каждое неравенство системы отдельно, затем изображаем оба решения на одной числовой прямой и находим общую часть (пересечение).

Пример: решить систему $\begin{cases}x>1\\x\leq5\end{cases}$. Первое неравенство даёт луч $x>1$, второе — луч $x\leq5$. Пересечение — отрезок $1<x\leq5$, то есть $(1;5]$.

5. Сопоставление ответа с числовой прямой (рисунком). После нахождения решения нужно правильно изобразить его на числовой прямой: закрашенная точка соответствует включённому концу (знаки $\leq,\geq$), пустая точка — исключённому концу (знаки $<,>$), штриховка показывает направление луча или границы отрезка.

Алгоритм решения по шагам

1. Определить тип неравенства: линейное, квадратное или система.
2. Раскрыть скобки, если они есть, аккуратно распределяя знак перед скобкой на каждое слагаемое внутри неё.
3. Перенести слагаемые с переменной в одну часть, числа — в другую, меняя знак при переносе.
4. Привести подобные слагаемые.
5. Если неравенство линейное — разделить обе части на коэффициент при $x$, не забыв поменять знак неравенства при делении на отрицательное число.
6. Если неравенство квадратное — найти корни через дискриминант или теорему Виета, применить метод интервалов с учётом знака старшего коэффициента.
7. Если это система — решить каждое неравенство отдельно, изобразить оба решения на одной числовой прямой и найти пересечение.
8. Записать ответ в виде промежутка, учитывая, включаются ли границы (круглая или квадратная скобка).
9. Сопоставить полученный промежуток с предложенными вариантами ответа или рисунком, обращая внимание на закрашенные и пустые точки.
10. Проверить решение, подставив контрольное число из найденного промежутка в исходное неравенство.

Разбор примеров

Пример 1. Решите неравенство $5-4(x-2)<22-x$.

Шаг 1. Раскрываем скобку: $5-4x+8<22-x$.

Шаг 2. Приводим подобные слагаемые в левой части: $13-4x<22-x$.

Шаг 3. Переносим переменные в одну часть, числа — в другую: $-4x+x<22-13$, то есть $-3x<9$.

Шаг 4. Делим обе части на $-3$; поскольку число отрицательное, знак неравенства меняется на противоположный: $x>-3$.

Шаг 5. Записываем ответ в виде промежутка: $x\in(-3;+\infty)$.

Сравниваем с вариантами: этот промежуток совпадает с вариантом 1. Ответ: 1.

Пример 2. Решите неравенство $20-3(x-5)<19-7x$.

Шаг 1. Раскрываем скобку: $20-3x+15<19-7x$.

Шаг 2. Приводим подобные слагаемые слева: $35-3x<19-7x$.

Шаг 3. Переносим переменные влево, числа вправо: $-3x+7x<19-35$, то есть $4x<-16$.

Шаг 4. Делим обе части на положительное число $4$, знак неравенства не меняется: $x<-4$.

Шаг 5. Ответ в виде промежутка: $x\in(-\infty;-4)$.

Это соответствует варианту 4. Ответ: 4.

Пример 3. Решите неравенство $4x+5\geq6x-2$ и определите, на каком рисунке изображено множество его решений.

Шаг 1. Переносим переменные в одну часть, числа — в другую: $4x-6x\geq-2-5$, то есть $-2x\geq-7$.

Шаг 2. Делим обе части на $-2$; так как число отрицательное, знак неравенства меняется: $x\leq\dfrac{7}{2}$, то есть $x\leq3{,}5$.

Шаг 3. Записываем решение как промежуток: $x\in(-\infty;3{,}5]$.

Шаг 4. На числовой прямой это изображается так: точка $3{,}5$ закрашена (граница включена, знак $\leq$), а вся часть прямой слева от неё (луч, идущий в сторону минус бесконечности) заштрихована.

Среди предложенных рисунков нужно выбрать тот, где закрашенная точка стоит в позиции $3{,}5$, а штриховка направлена влево. По условию задачи это соответствует варианту 2. Ответ: 2.

Типичные ошибки и ловушки

• Забывают поменять знак неравенства при умножении или делении обеих частей на отрицательное число — это самая частая ошибка в линейных неравенствах.
• Неправильно раскрывают скобки со знаком минус перед ними: забывают распределить минус на все слагаемые внутри скобки, из-за чего меняется весь ответ.
• Путают включённые и невключённые границы промежутка: знаки $\leq,\geq$ дают закрашенную точку и квадратную скобку, а знаки $<,>$ — пустую точку и круглую скобку.
• Ошибаются в знаках при методе интервалов, забывая учесть знак старшего коэффициента $a$ в квадратном трёхчлене — при $a<0$ знаки на промежутках меняются на противоположные по сравнению со случаем $a>0$.
• Неверно находят пересечение в системе неравенств — вместо общей части берут объединение решений или путают, какое из двух неравенств задаёт более узкое ограничение.
• Ошибаются при переносе слагаемых, забывая изменить знак переносимого числа или переменной.
• Невнимательно сопоставляют полученный промежуток с рисунком, путая направление штриховки (влево или вправо) и тип точки (закрашенная или пустая).

Как готовиться

Начните с многократной тренировки раскрытия скобок и переноса слагаемых на простых линейных неравенствах — доведите этот навык до автоматизма, чтобы не тратить время на проверку знаков. Затем переходите к квадратным неравенствам: обязательно решайте примеры и через дискриминант, и через теорему Виета, чтобы быстро определять корни в разных ситуациях. Отдельно тренируйте метод интервалов на трёхчленах с положительным и отрицательным старшим коэффициентом — важно видеть разницу в поведении знаков.

При решении систем неравенств всегда рисуйте числовую прямую и отмечайте оба решения разными обозначениями (например, штриховкой сверху и снизу), чтобы визуально находить пересечение без ошибок. После получения ответа обязательно делайте проверку: подставляйте одно число из найденного промежутка в исходное неравенство и убеждайтесь, что оно выполняется.

Решайте задания в тестовом формате с вариантами ответа — это тренирует внимательность при сопоставлении полученного промежутка с предложенными числами. Обращайте особое внимание на задания с рисунками: практикуйтесь быстро переводить неравенство вида $x\leq a$ или $x>a$ в изображение на числовой прямой и обратно. Регулярная практика на 10–15 разноплановых примеров в день позволит закрепить все алгоритмы и избежать типичных ошибок на экзамене.