Задание 13: Неравенства, системы неравенств

Типичная формулировка: «Решите неравенство... В ответе укажите номер правильного варианта» или «Решите неравенство и определите, на каком рисунке изображено множество его решений». Иногда встречается прямая просьба записать ответ в виде промежутка без вариантов.

Задание оценивается в 1 балл. Ответ — это либо номер варианта (1–4), либо запись промежутка. Ошибка в знаке неравенства при делении на отрицательное число или невнимательность при сопоставлении с рисунком — самые частые причины потери балла.

• Линейное неравенство — неравенство вида $ax+b>0$ (или с другим знаком: $<, \leq, \geq$), где $a\neq0$.
• Правило переноса слагаемых: слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя его знак, — сам знак неравенства при этом не меняется.
• Правило умножения/деления: при умножении или делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется; при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
• Квадратное неравенство — неравенство вида $ax^2+bx+c>0$ (или с другим знаком), где $a\neq0$.
• Дискриминант квадратного трёхчлена: $D=b^2-4ac$. Корни (если $D\geq0$): $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$.
• Парабола и знаки трёхчлена: если $a>0$, ветви параболы направлены вверх, трёхчлен отрицателен между корнями и положителен вне их; если $a<0$ — наоборот.
• Метод интервалов — универсальный способ решения неравенств вида $f(x)>0$ через разбиение числовой прямой корнями функции на промежутки знакопостоянства.
• Система неравенств — совокупность нескольких неравенств, которые должны выполняться одновременно; решение системы — это пересечение множеств решений каждого неравенства.
• Обозначения промежутков: $(a;b)$ — открытый интервал (концы не включены), $[a;b]$ — отрезок (концы включены), $(-\infty;a)$, $(a;+\infty)$ — бесконечные лучи.

1. Определить тип неравенства: линейное, квадратное или система.
2. Раскрыть скобки, если они есть, аккуратно распределяя знак перед скобкой на каждое слагаемое внутри неё.
3. Перенести слагаемые с переменной в одну часть, числа — в другую, меняя знак при переносе.
4. Привести подобные слагаемые.
5. Если неравенство линейное — разделить обе части на коэффициент при $x$, не забыв поменять знак неравенства при делении на отрицательное число.
6. Если неравенство квадратное — найти корни через дискриминант или теорему Виета, применить метод интервалов с учётом знака старшего коэффициента.
7. Если это система — решить каждое неравенство отдельно, изобразить оба решения на одной числовой прямой и найти пересечение.
8. Записать ответ в виде промежутка, учитывая, включаются ли границы (круглая или квадратная скобка). …