Задание 7 ОГЭ по математике: числовые неравенства и координатная прямая

Что проверяет задание

Задание 7 проверяет умение работать с числовыми неравенствами и связывать алгебраическую запись с расположением чисел на координатной прямой. Нужно уметь: сравнивать числа, определять знак выражения, преобразовывать неравенства к простому виду и «читать» рисунок — по отметке точки на прямой понимать, в каком промежутке лежит число.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка: «На координатной прямой отмечено число $a$. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?» Дальше даны четыре варианта неравенств вида $a+k>0$, $k-a<0$, $\dfrac{1}{a}>0$ и т. п., к рисунку прилагается числовая прямая с отметкой точки $a$ между двумя целыми числами. Задание находится в первой части экзамена, ответ — одно число (номер верного варианта), оценивается в 1 балл. Калькулятор не нужен, решение чисто логическое: важно верно прочитать рисунок и правильно преобразовать неравенства.

Что нужно знать

• Смысл знаков неравенства: $a>b$ означает, что $a$ находится правее $b$ на координатной прямой; $a<b$ — левее.
• Разность $a-b$ определяет знак сравнения: $a>b \Leftrightarrow a-b>0$; $a<b \Leftrightarrow a-b<0$.
• При добавлении (или вычитании) одного и того же числа к обеим частям неравенства знак не меняется: если $a<b$, то $a+c<b+c$ для любого $c$.
• При умножении обеих частей неравенства на положительное число знак сохраняется, при умножении на отрицательное — меняется на противоположный.
• Знак дроби $\dfrac{1}{a}$ (при $a\neq0$) совпадает со знаком $a$: если $a>0$, то $\dfrac{1}{a}>0$; если $a<0$, то $\dfrac{1}{a}<0$.
• На координатной прямой числа возрастают слева направо: чем правее точка, тем больше значение.
• Утверждение вида «число $-$ $a$ $>0$» равносильно $a<$ число, а «$a+$ число $>0$» равносильно $a>-$число. Полезно сразу переносить $a$ в одну сторону.

Методы решения

1. Метод переноса слагаемых. Приводим неравенство к простому виду «$a$ … число». Пример: дано $5-a>0$. Переносим: $5>a$, то есть $a<5$.

2. Метод определения знака дроби. Если в варианте есть $\dfrac{1}{a}$, сравниваем знак дроби со знаком $a$. Пример: $\dfrac{1}{a}<0 \Leftrightarrow a<0$.

3. Метод считывания интервала с рисунка. Смотрим, между какими целыми числами (или относительно нуля) находится точка $a$, и фиксируем этот промежуток как условие. Пример: если точка лежит между $-3$ и $-2$, то $-3<a<-2$, значит $a$ отрицательно и по модулю больше $2$, но меньше $3$.

4. Метод подстановки границ интервала. Проверяем истинность каждого варианта на левой и правой границе найденного промежутка (или на любом удобном числе внутри него). Если утверждение верно для всех точек интервала — это и есть искомый ответ.

5. Метод исключения. Отбрасываем варианты, которые точно противоречат положению точки (например, если $a$ отрицательно, а вариант утверждает $a>3$, он сразу отпадает).

Алгоритм решения по шагам

1. По рисунку определить положение точки $a$: между какими целыми числами она находится и с какой стороны от нуля.
2. Записать это как двойное неравенство, например $-5<a<-4$.
3. Для каждого из четырёх вариантов преобразовать неравенство к простому виду «$a$ ? число» (перенести слагаемые, при необходимости определить знак дроби).
4. Подставить границы найденного интервала (или удобное число внутри него) и проверить, выполняется ли неравенство.
5. Найти вариант, который остаётся верным на всём интервале; остальные три должны оказаться ложными — это дополнительная проверка.
6. Записать номер верного варианта как ответ.

Разбор примеров

Пример 1. По рисунку точка $a$ расположена между $-5$ и $-4$, то есть $-5<a<-4$. Проверим варианты, взяв, например, значение $a=-4{,}5$ из этого промежутка.

1. $a+4>0$. Подставим: $-4{,}5+4=-0{,}5$, это меньше нуля, утверждение ложно.

2. $a+5<0$. Подставим: $-4{,}5+5=0{,}5$, это больше нуля, утверждение ложно.

3. $2-a>0$. Подставим: $2-(-4{,}5)=6{,}5>0$ — верно. Проверим на другой границе, $a=-5$: $2-(-5)=7>0$ — тоже верно, значит неравенство выполняется для всего промежутка.

4. $3-a<0$. Подставим: $3-(-4{,}5)=7{,}5$, это больше нуля, утверждение ложно.

Верным оказалось только утверждение под номером 3. Ответ: 3.

Пример 2. Точка $a$ на рисунке лежит между $-3$ и $-2$, то есть $-3<a<-2$. Возьмём для проверки $a=-2{,}5$.

1. $-a<2$. Подставим: $-(-2{,}5)=2{,}5$, а $2{,}5<2$ неверно — утверждение ложно.

2. $-1-a>0$. Подставим: $-1-(-2{,}5)=1{,}5>0$ — верно. Проверим границу $a=-3$: $-1-(-3)=2>0$ — тоже верно для всего интервала.

3. $\dfrac{1}{a}>0$. Так как $a$ отрицательно, дробь $\dfrac{1}{a}$ тоже отрицательна, значит утверждение ложно.

4. $a+3<0$. Подставим: $-2{,}5+3=0{,}5$, это больше нуля, значит утверждение ложно.

Верным является утверждение 2. Ответ: 2.

Пример 3. Точка $a$ на рисунке расположена между $-2$ и $-1$, то есть $-2<a<-1$. Возьмём $a=-1{,}5$ для проверки.

1. $-a<1$. Подставим: $-(-1{,}5)=1{,}5$, а $1{,}5<1$ неверно — утверждение ложно.

2. $-2-a>0$. Подставим: $-2-(-1{,}5)=-0{,}5$, это меньше нуля — утверждение ложно.

3. $\dfrac{1}{a}<0$. Так как $a$ отрицательно на всём промежутке, дробь $\dfrac{1}{a}$ тоже отрицательна — утверждение верно. Проверим границу $a=-2$: $\dfrac{1}{-2}=-0{,}5<0$ — тоже верно.

4. $a+4<0$. Подставим: $-1{,}5+4=2{,}5$, это больше нуля — утверждение ложно.

Верным является утверждение 3. Ответ: 3.

Типичные ошибки и ловушки

• Ошибка знака при переносе слагаемого. Например, из $3-a>0$ иногда неверно получают $a>3$ вместо правильного $a<3$. Чтобы не ошибаться, переносите $a$ в одну сторону, а число — в другую, и следите за направлением неравенства.

• Забывают о смене знака при умножении на $-1$. Неравенство $-a<2$ при умножении обеих частей на $-1$ даёт $a>-2$, знак меняется на противоположный. Пропуск этого правила — частая причина неверного ответа.

• Путают знак дроби $\dfrac{1}{a}$ со знаком числителя без учёта знака $a$. Важно помнить: знак $\dfrac{1}{a}$ всегда совпадает со знаком самого $a$ (при $a\neq0$), это сразу определяется по положению точки на прямой.

• Неверное считывание рисунка. Иногда путают, с какой стороны от нуля находится точка, или ошибаются, между какими целыми числами она отмечена. Перед решением обязательно зафиксируйте промежуток словами или неравенством.

• Проверка только одной границы интервала. Если проверить утверждение лишь на одной границе, можно случайно получить верный результат для этой точки, но ложный для остальной части интервала. Надёжнее проверять обе границы или взять число внутри интервала.

• Поспешный выбор «похожего» варианта. Не стоит выбирать ответ по внешнему сходству с исходным рисунком без алгебраической проверки — все четыре варианта нужно проверить по очереди.

Как готовиться

Тренируйтесь читать координатную прямую: берите разные рисунки с отметками чисел и сразу записывайте положение точки как двойное неравенство. Практикуйте преобразование неравенств вида «число $\pm$ $a$» и «$a$ $\pm$ число» в простой вид «$a$ ? число» — это должно стать автоматическим навыком. Отдельно закрепите правило знака дроби $\dfrac{1}{a}$: решите несколько заданий, где среди вариантов встречается такая дробь, чтобы не тратить время на размышления на экзамене. Полезно решать задания несколькими способами — сначала логически (по знаку числа и его положению на прямой), а затем алгебраически (подстановкой конкретных чисел), чтобы взаимно проверять себя. Регулярно разбирайте свои ошибки: если ответ оказался неверным, найдите, на каком шаге пропустили смену знака или неверно прочитали рисунок. Чем больше заданий этого типа вы прорешаете, тем быстрее будете распознавать структуру и находить верный ответ за минимальное время.