Задание 7: Числовые неравенства, координатная прямая

Типичная формулировка: «На координатной прямой отмечено число $a$. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?» Дальше даны четыре варианта неравенств вида $a+k>0$, $k-a<0$, $\dfrac{1}{a}>0$ и т. п., к рисунку прилагается числовая прямая с отметкой точки $a$ между двумя целыми числами. Задание находится в первой части экзамена, ответ — одно число (номер верного варианта), оценивается в 1 балл. Калькулятор не нужен, решение чисто логическое: важно верно прочитать рисунок и правильно преобразовать неравенства.

• Смысл знаков неравенства: $a>b$ означает, что $a$ находится правее $b$ на координатной прямой; $a<b$ — левее.
• Разность $a-b$ определяет знак сравнения: $a>b \Leftrightarrow a-b>0$; $a<b \Leftrightarrow a-b<0$.
• При добавлении (или вычитании) одного и того же числа к обеим частям неравенства знак не меняется: если $a<b$, то $a+c<b+c$ для любого $c$.
• При умножении обеих частей неравенства на положительное число знак сохраняется, при умножении на отрицательное — меняется на противоположный.
• Знак дроби $\dfrac{1}{a}$ (при $a\neq0$) совпадает со знаком $a$: если $a>0$, то $\dfrac{1}{a}>0$; если $a<0$, то $\dfrac{1}{a}<0$.
• На координатной прямой числа возрастают слева направо: чем правее точка, тем больше значение.
• Утверждение вида «число $-$ $a$ $>0$» равносильно $a<$ число, а «$a+$ число $>0$» равносильно $a>-$число. Полезно сразу переносить $a$ в одну сторону.

1. По рисунку определить положение точки $a$: между какими целыми числами она находится и с какой стороны от нуля.
2. Записать это как двойное неравенство, например $-5<a<-4$.
3. Для каждого из четырёх вариантов преобразовать неравенство к простому виду «$a$ ? число» (перенести слагаемые, при необходимости определить знак дроби).
4. Подставить границы найденного интервала (или удобное число внутри него) и проверить, выполняется ли неравенство.
5. Найти вариант, который остаётся верным на всём интервале; остальные три должны оказаться ложными — это дополнительная проверка.
6. Записать номер верного варианта как ответ.