Степени и их свойства: справочник для ОГЭ

Коротко о главном

Степень — это сокращённая запись умножения одинаковых множителей: $a^n = a \cdot a \cdot ... \cdot a$ ($n$ раз). Свойства степеней позволяют быстро умножать, делить, возводить в степень выражения с одинаковыми основаниями. На ОГЭ эта тема встречается в заданиях на вычисление выражений и преобразование алгебраических дробей.

Определения и формулы/правила

Правило	Формула	Условие
Умножение степеней	$a^n \cdot a^m = a^{n+m}$	$a \ne 0$
Деление степеней	$a^n : a^m = a^{n-m}$	$a \ne 0$
Степень степени	$(a^n)^m = a^{nm}$	—
Степень произведения	$(ab)^n = a^n b^n$	—
Степень дроби	$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$	$b \ne 0$
Нулевая степень	$a^0 = 1$	$a \ne 0$
Отрицательная степень	$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$	$a \ne 0$
Первая степень	$a^1 = a$	—

Важно: свойства умножения и деления работают только для степеней с одинаковым основанием. Складывать показатели разных оснований нельзя: $2^3 \cdot 3^2 \ne 6^5$.

Знак степени с отрицательным основанием зависит от чётности показателя: $$(-a)^n = \begin{cases} a^n, & n \text{ — чётное} \\ -a^n, & n \text{ — нечётное} \end{cases}$$

Как применять

Пример 1. Вычислить $\dfrac{2^7 \cdot 2^3}{2^8}$.

Складываем показатели в числителе, затем вычитаем показатель знаменателя: $$\dfrac{2^{7+3}}{2^8} = \dfrac{2^{10}}{2^8} = 2^{10-8} = 2^2 = 4$$

Пример 2. Упростить $(3x^2)^3$.

Возводим в куб каждый множитель: $$(3x^2)^3 = 3^3 \cdot (x^2)^3 = 27x^6$$

Пример 3. Вычислить $5^{-2} \cdot 5^4$.

Складываем показатели: $-2 + 4 = 2$. $$5^{-2} \cdot 5^4 = 5^2 = 25$$

Типичные ошибки

• Складывают показатели при разных основаниях: $2^3 \cdot 3^3 \ne 6^6$ (на самом деле здесь применимо другое правило — степень произведения, но только если показатели одинаковые: $2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3$).
• Путают $a^0$ и $0^a$: любое число (кроме 0) в нулевой степени равно 1, но $0^0$ не определено, а $0^n = 0$ при $n > 0$.
• Забывают про знак при отрицательном основании и чётном/нечётном показателе: $(-2)^4 = 16$, а не $-16$; $(-2)^3 = -8$.
• Ошибка при вычитании показателей: $a^n : a^m = a^{n-m}$, а не $a^{m-n}$ — важен порядок.
• Считают $(a+b)^n = a^n + b^n$ — это неверно! Степень суммы не равна сумме степеней (кроме особых случаев, изучаемых отдельно).

Где встречается на экзамене

• Задание 6: вычисление числовых выражений со степенями, часто в сочетании с обыкновенными и десятичными дробями.
• Задание 8: упрощение алгебраических выражений и дробей с применением свойств степеней, включая отрицательные показатели.