Решение квадратных уравнений: формулы и примеры для ОГЭ

Коротко о главном

Квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2+bx+c=0$, где $a\neq 0$. Чтобы решить его на экзамене быстро и без ошибок, нужно уметь:

• вычислять дискриминант и определять количество корней;
• пользоваться формулой корней (в том числе укороченной для чётного $b$);
• решать неполные квадратные уравнения без дискриминанта;
• применять теорему Виета для проверки и быстрого подбора корней.

Эта тема — база для задания 9 (прямое решение уравнения) и часто скрыта внутри задания 20 (текстовые и геометрические задачи).

Определения и формулы/правила

Квадратное уравнение — уравнение $ax^2+bx+c=0$, $a\neq 0$. Числа $a$, $b$, $c$ — коэффициенты (старший, средний, свободный член).

Вид уравнения	Метод решения	Формула
Полное: $ax^2+bx+c=0$	Через дискриминант	$D=b^2-4ac$, $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$
Полное, $b=2k$ (чётный)	Укороченная формула	$D_1=k^2-ac$, $x=\dfrac{-k\pm\sqrt{D_1}}{a}$
Неполное: $ax^2+c=0$ ($b=0$)	Выразить $x^2$	$x^2=-\dfrac{c}{a}$, корни есть, если $-\dfrac{c}{a}\ge 0$
Неполное: $ax^2+bx=0$ ($c=0$)	Вынести общий множитель	$x(ax+b)=0 \Rightarrow x_1=0,\ x_2=-\dfrac{b}{a}$
Приведённое: $x^2+px+q=0$	Теорема Виета	$x_1+x_2=-p,\quad x_1\cdot x_2=q$

Правило количества корней по дискриминанту:

• $D>0$ — два различных корня;
• $D=0$ — один корень (говорят «два совпадающих», $x=-\dfrac{b}{2a}$);
• $D<0$ — действительных корней нет.

Это правило используется и отдельно — в задании 9 часто спрашивают именно про количество корней, без требования их находить.

Как применять

Пример 1. Полное уравнение через дискриминант.

Решить $2x^2-3x-5=0$.

$a=2,\ b=-3,\ c=-5$.

$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-5)=9+40=49$.

$\sqrt{D}=7$.

$x=\dfrac{3\pm 7}{4}$, значит $x_1=\dfrac{10}{4}=2{,}5$, $x_2=\dfrac{-4}{4}=-1$.

Ответ: $x_1=2{,}5$, $x_2=-1$.

Пример 2. Приведённое уравнение через теорему Виета.

Решить $x^2-5x+6=0$.

Здесь $p=-5$, $q=6$. Ищем два числа, сумма которых $5$, а произведение $6$. Это $2$ и $3$.

Ответ: $x_1=2$, $x_2=3$.

Проверка через дискриминант: $D=25-24=1>0$ — два корня, всё сходится.

Пример 3. Неполное уравнение.

Решить $3x^2-12=0$.

$3x^2=12 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$.

Ответ: $x_1=2$, $x_2=-2$.

Если бы уравнение было $3x^2+12=0$, то $x^2=-4$ — корней нет, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Как это выглядит в задании 20 (пример применения).

Прямоугольник имеет длину на 3 больше ширины, а площадь равна 40. Найти ширину.

Пусть ширина $x$, тогда длина $x+3$. Составляем уравнение: $x(x+3)=40 \Rightarrow x^2+3x-40=0$.

$D=9+160=169$, $\sqrt{D}=13$.

$x=\dfrac{-3\pm 13}{2}$, значит $x_1=5$, $x_2=-8$.

Так как ширина не может быть отрицательной, берём только $x=5$.

Типичные ошибки

• Не проверяют условие $a\neq 0$. Если $a=0$, уравнение перестаёт быть квадратным и решается как линейное — это меняет весь ход решения.
• Ошибка в знаке при вычислении дискриминанта. Особенно когда $b$ отрицательное: $b^2$ всегда положительно, но легко перепутать знак в $-b$ при подстановке в формулу корней.
• Забывают второй корень. Особенно в неполных уравнениях вида $ax^2+bx=0$ — многие делят обе части на $x$ и теряют корень $x=0$.
• Не отбрасывают посторонние корни в текстовых задачах. Как в примере с прямоугольником: отрицательный корень математически верный, но не подходит по смыслу задачи (длина, ширина, время не могут быть отрицательными).
• Путают теорему Виета для неприведённого уравнения. Формулы $x_1+x_2=-p$, $x_1x_2=q$ работают только когда коэффициент при $x^2$ равен 1. Для $ax^2+bx+c=0$ сначала делят все члены на $a$.
• Забывают знак у $\sqrt{D}$. Если $D>0$, извлекается только арифметический (положительный) корень, а знак $\pm$ уже стоит в формуле — нельзя писать $\pm\sqrt{D}$ дважды или терять один из знаков.

Где встречается на экзамене

• Задание 9 — прямое решение квадратного уравнения (полного или неполного), а также вопросы на определение количества корней по дискриминанту без полного решения.
• Задание 20 — квадратные уравнения возникают как промежуточный шаг в текстовых задачах (на движение, работу, площади) и в геометрических задачах, где нужно составить уравнение по условию, а затем решить его и отобрать подходящий по смыслу корень.
• Также квадратные уравнения нужны при решении дробно-рациональных уравнений и неравенств, где после приведения к общему знаменателю получается квадратное уравнение относительно переменной.