Формулы площадей фигур для ОГЭ

Коротко о главном

Площадь — величина, показывающая, сколько места занимает фигура. Измеряется в квадратных единицах ($см^2$, $м^2$). Для ОГЭ важно знать формулы площадей треугольника, параллелограмма, трапеции, круга и уметь применять их на клетчатой бумаге и в задачах с окружностями.

Определения и формулы

Фигура	Формула	Обозначения
Прямоугольник	$S = a \cdot b$	$a, b$ — стороны
Квадрат	$S = a^2$	$a$ — сторона
Параллелограмм	$S = a \cdot h$	$a$ — сторона, $h$ — высота к ней
Треугольник (осн.)	$S = \dfrac{1}{2} a \cdot h$	$a$ — основание, $h$ — высота
Треугольник (по 2 сторонам и углу)	$S = \dfrac{1}{2} a b \sin\gamma$	$a, b$ — стороны, $\gamma$ — угол между ними
Прямоугольный треугольник	$S = \dfrac{1}{2} a b$	$a, b$ — катеты
Равносторонний треугольник	$S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$	$a$ — сторона
Ромб	$S = \dfrac{1}{2} d_1 d_2$	$d_1, d_2$ — диагонали
Трапеция	$S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$	$a, b$ — основания, $h$ — высота
Круг	$S = \pi r^2$	$r$ — радиус
Сектор круга	$S = \dfrac{\alpha}{360^\circ} \pi r^2$	$\alpha$ — угол сектора в градусах

Полезное правило (площадь по клеткам, формула Пика): $$S = B + \dfrac{\Gamma}{2} - 1$$ где $B$ — количество узлов внутри многоугольника, $\Gamma$ — количество узлов на границе.

Как применять

Пример 1. Найдите площадь треугольника со сторонами $6$ см и $8$ см, угол между ними $90^\circ$.

Так как угол прямой, $\sin 90^\circ = 1$: $$S = \dfrac{1}{2}\cdot 6 \cdot 8 \cdot 1 = 24 \text{ см}^2$$

Пример 2. Трапеция с основаниями $5$ см и $9$ см, высота $4$ см. $$S = \dfrac{5+9}{2}\cdot 4 = 7 \cdot 4 = 28 \text{ см}^2$$

Пример 3. Найдите площадь многоугольника на клетчатой бумаге, если внутри 10 узлов, на границе 8 узлов. $$S = 10 + \dfrac{8}{2} - 1 = 10+4-1 = 13$$ Ответ: $13$ клеток (условных единиц площади).

Типичные ошибки

• Используют высоту, не соответствующую взятой стороне (высота должна быть перпендикулярна именно этому основанию).
• Путают диагонали ромба с его сторонами при подстановке в формулу.
• Забывают делить произведение диагоналей ромба на 2.
• В формуле сектора подставляют угол в радианах вместо градусов (или наоборот, без пересчёта).
• При применении формулы Пика забывают вычесть 1 или путают внутренние и граничные узлы.
• Для площади через $\sin$ угла используют угол, который не является углом между указанными сторонами.

Где встречается на экзамене

• Задание 12 — вычисление площади по данным сторонам, высоте или углу (часто с использованием тригонометрии и клетчатой бумаги).
• Задание 18 (геометрическая задача с окружностью) — площади секторов, кругов, комбинированных фигур.
• Задание 23 — практико-ориентированные задачи, где нужно найти площадь участка, фигуры сложной формы, часто разбивая её на простые части.