Задание 18 ОГЭ: расстояния, средняя линия и площади на решётке

Что проверяет задание

Задание 18 ОГЭ проверяет умение снимать геометрическую информацию с рисунка на клетчатой бумаге и переводить её в числа. Нужно находить длины отрезков (в том числе наклонных) через теорему Пифагора, вычислять площади многоугольников по клеткам, определять высоты фигур и расстояния от точки до прямой через площадь, а также применять свойство средней линии треугольника и трапеции. По сути это проверка навыка координатной геометрии на целочисленной решётке без линейки и транспортира — все размеры считываются по клеткам. Такие задания часто идут в связке с другими геометрическими задачами первой части экзамена и требуют аккуратности в работе с целыми и дробными координатами.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

На экзамене дан рисунок — фигура на листе в клетку, размер клетки $1\text{ см}\times1\text{ см}$. Оси координат обычно не подписаны: систему координат вводят самостоятельно, принимая любой узел решётки за начало. Частые формулировки:

• «Найдите большую (меньшую) высоту параллелограмма»;
• «Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $BC$»;
• «Найдите площадь фигуры»;
• «Найдите длину средней линии трапеции (треугольника)».

Ответ — число, единица измерения (см) обычно уже указана в условии, в бланк записывается только число, при необходимости — десятичная дробь. Задание оценивается в 1 балл, относится к блоку «Геометрия» и встречается в каждом варианте ОГЭ, поэтому его разбор особенно выгоден для итогового балла.

Что нужно знать

• Расстояние между точками $A(x_1;y_1)$ и $B(x_2;y_2)$: $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.
• Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами $a,b$ и гипотенузой $c$: $c^2=a^2+b^2$.
• Площадь треугольника через основание и высоту: $S=\dfrac12 a h_a$.
• Площадь треугольника по координатам вершин: $S=\dfrac12\left|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\right|$.
• Площадь параллелограмма через векторное произведение сторон: $S=|x_1y_2-x_2y_1|$, где $(x_1;y_1)$ и $(x_2;y_2)$ — координаты векторов смежных сторон.
• Формула Пика для площади многоугольника с вершинами в узлах решётки: $S=B+\dfrac{Г}{2}-1$, где $B$ — число внутренних узлов, $Г$ — число узлов на границе.
• Расстояние от точки $A$ до прямой $BC$: $d=\dfrac{2S_{ABC}}{|BC|}$.
• Средняя линия треугольника равна половине стороны, которую она не пересекает, и параллельна ей: $MN=\dfrac12 BC$.
• Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $MN=\dfrac{a+b}{2}$.

Методы решения

1. Теорема Пифагора для длины наклонного отрезка. Если отрезок идёт по клеткам не вдоль линий решётки, его длину находят как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами, равными смещению по горизонтали и вертикали. Пример: отрезок сдвинут на 3 клетки по горизонтали и 4 по вертикали — длина $=\sqrt{3^2+4^2}=5$.

2. Метод «площадь двумя способами». Чтобы найти высоту или расстояние от точки до прямой, площадь фигуры считают одним удобным способом (по клеткам, по формуле Пика, через разбиение на прямоугольники), а затем выражают искомую величину: $h=\dfrac{2S}{a}$. Пример: треугольник с основанием $4$ и площадью $10$ имеет высоту $h=\dfrac{2\cdot10}{4}=5$.

3. Векторное произведение сторон для площади параллелограмма. Если стороны параллелограмма заданы векторами $(x_1;y_1)$ и $(x_2;y_2)$ от общей вершины, площадь равна $|x_1y_2-x_2y_1|$ — это быстрее, чем считать клетки вручную. Пример: векторы $(4;0)$ и $(1;5)$ дают площадь $|4\cdot5-0\cdot1|=20$.

4. Формула Пика для сложных многоугольников. Считают число узлов решётки внутри фигуры ($B$) и на её границе ($Г$), подставляют в $S=B+\dfrac{Г}{2}-1$. Пример: если внутри фигуры 10 узлов, на границе 8, то $S=10+4-1=13$.

5. Свойство средней линии для быстрого счёта. Если на рисунке есть средняя линия, длину нужной стороны можно получить умножением или делением на 2, без построения дополнительных треугольников. Пример: средняя линия трапеции равна $6$, тогда сумма оснований равна $12$.

Алгоритм решения по шагам

1. Ввести систему координат: выбрать любой узел решётки за начало $(0;0)$, оси — вдоль линий сетки.
2. Определить координаты всех нужных точек (вершин фигуры, точки $A$, $B$, $C$), считая клетки от начала координат.
3. Понять, что требуется найти: длину стороны, площадь, высоту или расстояние от точки до прямой.
4. Если нужна длина наклонного отрезка — применить теорему Пифагора к соответствующим катетам (разности координат).
5. Если нужна площадь — выбрать удобный способ: разбиение на прямоугольники и треугольники, формулу Пика или векторное произведение сторон.
6. Если нужна высота или расстояние до прямой — посчитать площадь треугольника (или параллелограмма) двумя способами и выразить искомую величину через формулу $h=\dfrac{2S}{a}$.
7. Сверить результат с рисунком: высота не должна быть больше длины стороны, к которой она не относится, а расстояние — быть «разумным» по сравнению с клетками на картинке.

Разбор примеров

Пример 1. На клетчатой бумаге ($1\text{ см}\times1\text{ см}$) изображён параллелограмм. Найдите длину его большей высоты.

Решение. Введём координаты по рисунку: $A(0;0)$, $B(4;0)$, $C(5;5)$, $D(1;5)$. Проверим, что $ABCD$ — параллелограмм: $\vec{AB}=(4;0)$, $\vec{DC}=(5-1;5-5)=(4;0)$ — совпадают, значит стороны $AB$ и $DC$ равны и параллельны. Аналогично $\vec{AD}=(1;5)$, $\vec{BC}=(1;5)$.

Длины сторон: $AB=4$; $AD=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}\approx5{,}10$.

Стороны $AB$ и $DC$ лежат на горизонтальных прямых $y=0$ и $y=5$ — значит расстояние между ними, то есть высота, проведённая к этим сторонам, равна вертикальному расстоянию между прямыми: $h_1=5$.

Площадь параллелограмма (через векторное произведение): $S=|x_{AB}y_{AD}-y_{AB}x_{AD}|=|4\cdot5-0\cdot1|=20$.

Высота к стороне $AD$: $h_2=\dfrac{S}{AD}=\dfrac{20}{\sqrt{26}}\approx3{,}92$.

Так как $h_1=5>h_2\approx3{,}92$, большая высота равна $5$ см.

Ответ: 5.

Пример 2. На клетчатой бумаге отмечены точки $A$, $B$ и $C$. Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $BC$.

Решение. По рисунку определим координаты: $B(0;0)$, $C(3;4)$, $A(2;6)$.

Длина отрезка $BC$ по теореме Пифагора: $BC=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.

Площадь треугольника $ABC$ по формуле через координаты: $$S=\dfrac12\left|x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)+x_A(y_B-y_C)\right|$$ $$S=\dfrac12\left|0\cdot(4-6)+3\cdot(6-0)+2\cdot(0-4)\right|=\dfrac12|0+18-8|=\dfrac12\cdot10=5.$$

Расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ — это высота треугольника $ABC$, проведённая к стороне $BC$: $$d=\dfrac{2S}{BC}=\dfrac{2\cdot5}{5}=2.$$

Ответ: 2.

Пример 3. На клетчатой бумаге отмечены точки $A$, $B$ и $C$. Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $BC$.

Решение. Координаты точек: $B(0;0)$, $C(3;4)$, $A(1;3)$.

Длина $BC$: $BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$.

Площадь треугольника $ABC$: $$S=\dfrac12\left|x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)+x_A(y_B-y_C)\right|$$ $$S=\dfrac12\left|0\cdot(4-3)+3\cdot(3-0)+1\cdot(0-4)\right|=\dfrac12|0+9-4|=\dfrac12\cdot5=2{,}5.$$

Расстояние от $A$ до прямой $BC$: $$d=\dfrac{2S}{BC}=\dfrac{2\cdot2{,}5}{5}=\dfrac{5}{5}=1.$$

Ответ: 1.

Типичные ошибки и ловушки

• Путают высоту фигуры со стороной, к которой она восстановлена: высота — это перпендикуляр, а не сама наклонная сторона.
• Расстояние от точки до прямой ищут как длину отрезка до случайной точки на прямой, а не как перпендикуляр — нужно использовать формулу через площадь или строить перпендикуляр по клеткам.
• Ошибаются при переносе рисунка в координаты: сдвигаются на клетку при подсчёте, особенно если точка не в узле решётки, а на пересечении диагоналей клетки.
• Забывают, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований, а не полуразности, и путают её с высотой.
• При использовании теоремы Пифагора берут не те катеты — путают разность по горизонтали и вертикали, особенно если отрезок идёт «против» направления осей.
• Считают площадь параллелограмма как произведение длин сторон, забывая, что нужна именно высота, а не соседняя сторона.
• Путают понятия «высота» и «медиана» треугольника при поиске расстояния от вершины до противоположной стороны.
• Не проверяют результат на правдоподобность: высота не может быть больше длины стороны фигуры, если угол между ними меньше $90^\circ$.

Как готовиться

Разбирайте задания на клетчатой бумаге систематически: сначала научитесь быстро вводить координаты по рисунку, не считая клетки каждый раз с нуля. Тренируйте три опорных навыка отдельно — вычисление длины отрезка через теорему Пифагора, вычисление площади разными способами (разбиение, формула Пика, векторное произведение) и вычисление расстояния от точки до прямой через площадь. Решайте варианты ОГЭ прошлых лет именно на задание 18, отмечая, какой метод сработал быстрее. Обязательно решайте задания без транспортира и линейки — весь навык строится на счёте клеток и применении формул, а не на измерении рисунка на глаз. Полезно перепроверять ответ вторым способом: например, если высоту нашли через площадь, попробуйте оценить её визуально по клеткам на рисунке — это исключит грубые ошибки в вычислениях.