Задание 18: Фигуры на квадратной решётке

На экзамене дан рисунок — фигура на листе в клетку, размер клетки $1\text{ см}\times1\text{ см}$. Оси координат обычно не подписаны: систему координат вводят самостоятельно, принимая любой узел решётки за начало. Частые формулировки:

• «Найдите большую (меньшую) высоту параллелограмма»;
• «Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $BC$»;
• «Найдите площадь фигуры»;
• «Найдите длину средней линии трапеции (треугольника)».

…

• Расстояние между точками $A(x_1;y_1)$ и $B(x_2;y_2)$: $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.
• Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами $a,b$ и гипотенузой $c$: $c^2=a^2+b^2$.
• Площадь треугольника через основание и высоту: $S=\dfrac12 a h_a$.
• Площадь треугольника по координатам вершин: $S=\dfrac12\left|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\right|$.
• Площадь параллелограмма через векторное произведение сторон: $S=|x_1y_2-x_2y_1|$, где $(x_1;y_1)$ и $(x_2;y_2)$ — координаты векторов смежных сторон.
• Формула Пика для площади многоугольника с вершинами в узлах решётки: $S=B+\dfrac{Г}{2}-1$, где $B$ — число внутренних узлов, $Г$ — число узлов на границе.
• Расстояние от точки $A$ до прямой $BC$: $d=\dfrac{2S_{ABC}}{|BC|}$.
• Средняя линия треугольника равна половине стороны, которую она не пересекает, и параллельна ей: $MN=\dfrac12 BC$.
• Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $MN=\dfrac{a+b}{2}$.

1. Ввести систему координат: выбрать любой узел решётки за начало $(0;0)$, оси — вдоль линий сетки.
2. Определить координаты всех нужных точек (вершин фигуры, точки $A$, $B$, $C$), считая клетки от начала координат.
3. Понять, что требуется найти: длину стороны, площадь, высоту или расстояние от точки до прямой.
4. Если нужна длина наклонного отрезка — применить теорему Пифагора к соответствующим катетам (разности координат).
5. Если нужна площадь — выбрать удобный способ: разбиение на прямоугольники и треугольники, формулу Пика или векторное произведение сторон.
6. Если нужна высота или расстояние до прямой — посчитать площадь треугольника (или параллелограмма) двумя способами и выразить искомую величину через формулу $h=\dfrac{2S}{a}$. …