Методы решения систем уравнений — подготовка к ОГЭ

Коротко о главном

Система уравнений — это несколько уравнений с общими переменными, которые нужно решить одновременно. Решение системы — пара (или набор) значений переменных, которые подходят всем уравнениям сразу.

Основные методы решения систем на ОГЭ:

• метод подстановки;
• метод сложения (алгебраического сложения);
• графический метод.

Выбор метода зависит от вида системы: если одно уравнение легко разрешить относительно переменной — подстановка; если коэффициенты при одной переменной удобно складывать или вычитать — сложение; если нужно наглядно показать решение или оценить количество корней — график.

Определения и формулы/правила

Метод	Суть метода	Когда удобно применять
Подстановка	Из одного уравнения выражают одну переменную через другую и подставляют во второе уравнение	Когда одна переменная легко выражается (коэффициент 1 или -1)
Сложение	Уравнения умножают на числа так, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными, затем складывают уравнения	Когда коэффициенты при переменных удобно уравнять умножением
Графический	Строят графики обоих уравнений; решение системы — координаты точек пересечения	Когда нужно определить число решений или сделать оценку

Линейная система общего вида: $$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$$

Правило подстановки:

1. Выразить одну переменную из одного уравнения.
2. Подставить выражение в другое уравнение.
3. Решить полученное уравнение с одной переменной.
4. Найти вторую переменную.

Правило сложения:

1. Умножить уравнения на подходящие числа так, чтобы коэффициенты при $x$ (или $y$) стали противоположными.
2. Сложить уравнения — одна переменная исчезнет.
3. Решить уравнение с одной переменной.
4. Подставить найденное значение в любое исходное уравнение.

Графический метод: каждое уравнение вида $y=kx+b$ задаёт прямую. Число решений системы:

• одна точка пересечения — единственное решение;
• прямые совпадают — бесконечно много решений;
• прямые параллельны и не совпадают — решений нет.

Для систем с уравнением второй степени (линейное + квадратичное) чаще применяют подстановку: выражают переменную из линейного уравнения и подставляют в квадратное.

Как применять

Пример 1. Метод подстановки $$\begin{cases}x+y=7\\2x-y=2\end{cases}$$ Из первого уравнения: $y=7-x$. Подставим во второе: $2x-(7-x)=2 \Rightarrow 3x-7=2 \Rightarrow x=3$. Тогда $y=7-3=4$. Ответ: $(3;4)$.

Пример 2. Метод сложения $$\begin{cases}3x+2y=16\\5x-2y=8\end{cases}$$ Коэффициенты при $y$ противоположны — складываем уравнения: $8x=24 \Rightarrow x=3$. Подставим в первое уравнение: $9+2y=16 \Rightarrow y=3{,}5$. Ответ: $(3;3{,}5)$.

Пример 3. Система с квадратным уравнением $$\begin{cases}y=x+1\\x^2+y^2=25\end{cases}$$ Подставим $y=x+1$ во второе уравнение: $x^2+(x+1)^2=25 \Rightarrow 2x^2+2x+1=25 \Rightarrow 2x^2+2x-24=0 \Rightarrow x^2+x-12=0$. Корни: $x=3$ или $x=-4$. При $x=3$: $y=4$. При $x=-4$: $y=-3$. Ответы: $(3;4)$ и $(-4;-3)$.

Типичные ошибки

• Неверный знак при переносе слагаемого через знак равенства.
• Ошибка при умножении уравнения на число: умножают не все члены уравнения.
• Подстановка выражения только в одну часть уравнения, а не во всё уравнение.
• Забывают проверить оба корня квадратного уравнения при подстановке в систему.
• Путают координаты $x$ и $y$ при записи окончательного ответа.
• При графическом методе неверно строят прямую из-за ошибки в вычислении координат точек.

Где встречается на экзамене

В задании 9 проверяют умение решать системы линейных уравнений или системы с одним квадратным уравнением — обычно требуется найти числовой ответ (значение переменной или сумму координат).

В задании 20 системы уравнений встречаются в текстовых задачах: составление системы по условию и её решение одним из изученных методов (на движение, работу, части и целое, смеси и сплавы).