Таблица производных элементарных функций для ЕГЭ

Коротко о главном

Производная функции $f(x)$ в точке показывает скорость изменения функции. Чтобы решать задания 8 и 12 профиля, нужно наизусть знать таблицу производных элементарных функций и правила дифференцирования (сумма, произведение, частное, сложная функция). Без этого не найти экстремумы, промежутки монотонности и не решить прикладные задачи на оптимизацию.

Определения и формулы/правила

Таблица производных:

Функция $f(x)$	Производная $f'(x)$
$C$ (константа)	$0$
$x$	$1$
$x^n$	$n\cdot x^{n-1}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\dfrac{1}{\cos^2 x}$
$\cot x$	$-\dfrac{1}{\sin^2 x}$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x \ln a$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x \ln a}$

Правила дифференцирования:

1. Производная суммы/разности: $$(u \pm v)' = u' \pm v'$$

2. Производная произведения: $$(u \cdot v)' = u'v + uv'$$

3. Производная частного: $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}, \quad v \ne 0$$

4. Производная сложной функции (цепное правило): $$\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

5. Вынесение константы: $$(C \cdot u)' = C \cdot u'$$

Как применять

Пример 1. Найти производную $f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 7$.

Применяем правило суммы и таблицу степенной функции: $$f'(x) = 3 \cdot 4x^3 - 5 \cdot 2x + 0 = 12x^3 - 10x$$

Пример 2. Найти производную $f(x) = x^2 \cdot \sin x$.

Применяем правило произведения: $u = x^2$, $v = \sin x$. $$f'(x) = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x$$

Пример 3. Найти производную $f(x) = e^{3x+1}$.

Это сложная функция: внешняя $e^t$, внутренняя $t = 3x+1$. $$f'(x) = e^{3x+1} \cdot 3 = 3e^{3x+1}$$

Типичные ошибки

• Дифференцирование произведения как произведения производных: $(uv)' \ne u'v'$ — забывают второе слагаемое.
• Забывают домножить на производную внутренней функции при работе со сложной функцией (например, $(\sin(2x))' = \cos(2x)$ вместо верного $2\cos(2x)$).
• Путают производные $\sin x$ и $\cos x$ по знаку: у косинуса минус, у синуса — нет.
• Ошибка в производной $\dfrac{1}{x}$: пишут $\dfrac{1}{x^2}$ вместо $-\dfrac{1}{x^2}$.
• Забывают множитель $\ln a$ при дифференцировании показательной функции $a^x$ и логарифма $\log_a x$ с основанием, отличным от $e$.
• Неверно применяют правило частного, путают порядок слагаемых в числителе: важно $u'v - uv'$, а не наоборот.

Где встречается на экзамене

Задание 8 профильного ЕГЭ обычно требует найти производную функции в точке или значение производной по графику функции. Задание 12 — более сложное: исследование функции с помощью производной, нахождение точек экстремума, наибольшего/наименьшего значения функции на отрезке, часто в связке с прикладными задачами на оптимизацию (площадь, объём, стоимость). Владение таблицей производных и правилами дифференцирования — обязательное условие для успешного решения обоих заданий.