Свойства степеней и логарифмов для ЕГЭ профиль

Коротко о главном

Степени и логарифмы — взаимно обратные операции: $\log_a b = c \iff a^c = b$ (при $a>0,\, a\neq 1,\, b>0$). На ЕГЭ эти темы работают в тандеме: задание 7 (производная, исследование функций вида $a^x$, $\log_a x$) и задание 13 (показательные и логарифмические уравнения) требуют быстрого и безошибочного применения свойств. Ключ к успеху — знать область допустимых значений (ОДЗ) и не путать похожие формулы.

Определения и формулы

Степень с любым показателем (при $a>0$):

Свойство	Формула
Произведение степеней	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
Частное степеней	$a^m : a^n = a^{m-n}$
Степень степени	$(a^m)^n = a^{mn}$
Степень произведения	$(ab)^n = a^n b^n$
Степень частного	$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$
Нулевой показатель	$a^0 = 1$, $a\neq 0$
Отрицательный показатель	$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$
Дробный показатель	$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$

Логарифм $\log_a b$ определён при $a>0,\ a\neq 1,\ b>0$.

Свойство	Формула
Основное тождество	$a^{\log_a b} = b$
Логарифм произведения	$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
Логарифм частного	$\log_a\dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$
Логарифм степени	$\log_a x^p = p\log_a x$
Логарифм корня	$\log_a \sqrt[n]{x} = \dfrac{1}{n}\log_a x$
Смена основания	$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$
Перевёрнутый логарифм	$\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$
Логарифм единицы	$\log_a 1 = 0$
Логарифм основания	$\log_a a = 1$

Важно: $\log_a x^2 = 2\log_a|x|$, а не $2\log_a x$ — формула $\log_a x^p = p\log_a x$ верна только при $x>0$.

Как применять

Пример 1. Вычислить $\log_2 48 - \log_2 3$.

По свойству разности: $\log_2 48 - \log_2 3 = \log_2\dfrac{48}{3} = \log_2 16 = 4$.

Пример 2. Найти производную функции $y = 2^x \cdot 3^x$ (задание 7).

Сначала упростим по свойству степени произведения: $2^x \cdot 3^x = (2\cdot 3)^x = 6^x$. Тогда $y' = 6^x \ln 6$.

Пример 3. Решить уравнение $\log_3(x-1) + \log_3(x+1) = 1$ (задание 13).

ОДЗ: $x-1>0$ и $x+1>0 \Rightarrow x>1$. Сворачиваем: $\log_3\big((x-1)(x+1)\big) = 1 \Rightarrow x^2 - 1 = 3 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. С учётом ОДЗ ($x>1$) остаётся $x=2$. Проверка подтверждает корень.

Типичные ошибки

• Забывают про ОДЗ при сворачивании суммы логарифмов в произведение — так теряют или, наоборот, приобретают лишние корни. Всегда фиксируйте ОДЗ до преобразований и проверяйте корни после.
• Путают $\log_a x^p = p\log_a x$ с $\log_a x^{2k} = 2k\log_a|x|$ — при чётном показателе основание модуля обязательно, если знак $x$ не известен.
• Неверно раскрывают степень суммы: $a^{m+n} \neq a^m + a^n$. Это разные операции, не путайте с распределительным законом умножения.
• Ошибка в смене основания: пишут $\log_a b = \log_c b - \log_c a$ вместо деления. Формула смены основания — это частное, а не разность.
• Забывают ограничения на основание: $a>0,\ a\neq 1$. При $a=1$ или $a\le 0$ логарифм не определён — такие случаи нужно сразу исключать из ОДЗ.

Где встречается на экзамене

В задании 7 свойства степеней и логарифмов нужны для упрощения выражений перед дифференцированием функций вида $a^{f(x)}$, $\log_a f(x)$, а также при исследовании их монотонности и экстремумов. В задании 13 эти свойства — основа решения показательных и логарифмических уравнений: сведение к одному основанию, свёртка/развёртка логарифмов, замена переменной (например, $t = a^x$) с последующим возвратом и проверкой корней по ОДЗ.