Формулы теории вероятностей: подготовка к ЕГЭ профиль

Коротко о главном

Вероятность события — число от 0 до 1, показывающее шанс того, что событие произойдёт. В заданиях 4–5 ЕГЭ профиль нужны: классическое определение вероятности, правила сложения и умножения, формула для противоположного события и вероятность через дерево/таблицу вариантов.

Определения и формулы

Понятие	Формула	Пояснение
Классическая вероятность	$P(A)=\dfrac{m}{n}$	$m$ — число благоприятных исходов, $n$ — общее число равновозможных исходов
Противоположное событие	$P(\bar A)=1-P(A)$	Если $A$ — «событие произошло», $\bar A$ — «не произошло»
Сложение несовместных событий	$P(A+B)=P(A)+P(B)$	События не могут произойти одновременно
Сложение совместных событий	$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$	Учитываем пересечение, чтобы не считать его дважды
Умножение независимых событий	$P(AB)=P(A)\cdot P(B)$	Исход одного события не влияет на другое
Формула полной вероятности	$P(A)=\sum_i P(H_i)\cdot P(A\mid H_i)$	$H_i$ — полная группа несовместных гипотез
Вероятность через дополнение	$P(A)=1-P(\bar A)$	Удобно, когда «хотя бы один» сложнее считать напрямую

Важное правило: сумма вероятностей всех элементарных исходов равна 1: $$\sum_{i=1}^{n} p_i = 1.$$

Как применять

Пример 1. Классическая вероятность. В коробке 5 красных и 3 синих шара. Наугад берут один шар. Найти вероятность, что он синий.

Всего исходов $n=8$, благоприятных $m=3$: $$P=\frac{3}{8}=0{,}375.$$

Пример 2. Противоположное событие. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Найти вероятность, что она исправна.

$$P(\text{исправна})=1-0{,}02=0{,}98.$$

Пример 3. Независимые события (умножение). Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,8. Он делает 2 выстрела. Найти вероятность двух попаданий подряд (выстрелы независимы).

$$P=0{,}8\cdot 0{,}8=0{,}64.$$

Если нужно найти вероятность «хотя бы одного попадания» из двух выстрелов, проще через противоположное событие: $$P(\text{хотя бы одно})=1-P(\text{оба промаха})=1-0{,}2\cdot0{,}2=1-0{,}04=0{,}96.$$

Типичные ошибки

• Складывают вероятности совместных событий без вычитания пересечения — забывают формулу $P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$.
• Умножают вероятности зависимых событий, как если бы они были независимыми — сначала проверьте, влияет ли одно событие на другое.
• Путают понятия «хотя бы один» и «ровно один»: первое считают через дополнение, второе — через отдельный подсчёт исходов.
• Забывают, что сумма всех элементарных вероятностей равна 1, и не проверяют себя этим правилом.
• Считают исходы неравновозможными, хотя условие задачи требует равновозможности (например, при бросании неправильной монеты классическая формула не применяется).

Где встречается на экзамене

Задания 4 и 5 профильного ЕГЭ по математике посвящены теории вероятностей: классическая вероятность, сложение и умножение вероятностей, независимые и противоположные события, а также задачи на дерево вероятностей и формулу полной вероятности. Обычно это отдельные текстовые задачи с числовым ответом, часто связанные с бытовыми ситуациями — розыгрыши, экзамены, приборы, спортивные соревнования.