Формулы стереометрии: объёмы и площади поверхностей

Коротко о главном

В заданиях 3 и 14 профильного ЕГЭ проверяют знание формул объёма $V$ и площади полной поверхности $S_{полн}$ основных тел: призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара. Задание 3 — прямое вычисление по формуле или по клеточному чертежу, задание 14 — комбинация тел, сечения, доказательства. Ключ к успеху — точное знание формул и умение находить нужные линейные элементы (высоту, апофему, радиус) через теорему Пифагора.

Определения и формулы

Призма (площадь основания $S_{осн}$, высота $h$, периметр основания $P_{осн}$, боковое ребро $l$):

Величина	Формула
Объём	$V = S_{осн} \cdot h$
Площадь боковой поверхности (прямая)	$S_{бок} = P_{осн} \cdot l$
Площадь полной поверхности	$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Куб со стороной $a$: $V = a^3$, $S_{полн} = 6a^2$, диагональ $d = a\sqrt{3}$.

Прямоугольный параллелепипед со сторонами $a, b, c$: $V = abc$, $S_{полн} = 2(ab+bc+ac)$, диагональ $d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

Пирамида (основание $S_{осн}$, высота $h$, апофема $m$, периметр основания $P_{осн}$):

Величина	Формула
Объём	$V = \dfrac{1}{3} S_{осн} \cdot h$
Боковая поверхность (правильная)	$S_{бок} = \dfrac{1}{2} P_{осн} \cdot m$
Полная поверхность	$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$

Усечённая пирамида (основания $S_1$, $S_2$, высота $h$):

$$V = \dfrac{h}{3}\left(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}\right)$$

Цилиндр (радиус $r$, высота $h$):

Величина	Формула
Объём	$V = \pi r^2 h$
Боковая поверхность	$S_{бок} = 2\pi r h$
Полная поверхность	$S_{полн} = 2\pi r h + 2\pi r^2$

Конус (радиус $r$, высота $h$, образующая $l$, $l^2 = r^2 + h^2$):

Величина	Формула
Объём	$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$
Боковая поверхность	$S_{бок} = \pi r l$
Полная поверхность	$S_{полн} = \pi r l + \pi r^2$

Усечённый конус (радиусы $r_1, r_2$, образующая $l$):

$$V = \dfrac{\pi h}{3}\left(r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2\right), \qquad S_{бок} = \pi (r_1+r_2) l$$

Шар (радиус $R$):

Величина	Формула
Объём	$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$
Площадь поверхности	$S = 4\pi R^2$

Отношение объёмов подобных тел: если коэффициент подобия $k$, то $\dfrac{V_1}{V_2} = k^3$, а $\dfrac{S_1}{S_2} = k^2$.

Как применять

Пример 1 (задание 3). Дан прямоугольный параллелепипед со сторонами $3, 4, 5$. Найдите объём.

Решение: $V = 3\cdot4\cdot5 = 60$.

Пример 2 (задание 3). Конус имеет радиус основания $r = 3$ и образующую $l = 5$. Найдите объём.

Решение: сначала находим высоту по теореме Пифагора: $h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{25-9} = 4$. Тогда $V = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi$.

Пример 3 (задание 14, тип). В шар радиуса $R$ вписан цилиндр, у которого высота равна радиусу шара. Найдите объём цилиндра.

Решение: если высота цилиндра $h = R$, то полудиагональ осевого сечения равна $R$ (радиус шара), а половина высоты $\dfrac{R}{2}$ — катет. По теореме Пифагора радиус цилиндра $r$: $r^2 + \left(\dfrac{R}{2}\right)^2 = R^2 \Rightarrow r^2 = \dfrac{3R^2}{4}$. Тогда $V = \pi r^2 h = \pi \cdot \dfrac{3R^2}{4}\cdot R = \dfrac{3\pi R^3}{4}$.

Типичные ошибки

• Путают апофему пирамиды (высоту боковой грани) с боковым ребром — это разные отрезки, апофема лежит в грани и перпендикулярна основанию грани.
• В формуле объёма пирамиды и конуса забывают множитель $\dfrac{1}{3}$.
• При вычислении площади боковой поверхности призмы используют формулу для прямой призмы в случае наклонной — там нужен периметр перпендикулярного сечения, а не основания.
• Путают радиус и диаметр при подстановке в формулы шара, цилиндра, конуса.
• Забывают, что при увеличении линейных размеров в $k$ раз объём растёт в $k^3$, а площадь — в $k^2$ раз (а не в $k$ раз).
• Неверно находят высоту тела через наклонное ребро, не применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику внутри фигуры.

Где встречается на экзамене

Задание 3 — прямое вычисление объёма или площади поверхности тела по данным линейным элементам, часто по изображению на клетчатой бумаге. Задание 14 — стереометрическая задача с доказательством (пункт а) и вычислением (пункт б), где формулы объёма и площади применяются к комбинациям тел, сечениям пирамид и призм, вписанным и описанным сферам. Знание формул также необходимо в задании 8 (базовый уровень) и при решении задач с параметром на объём.