Формулы производной и первообразной для ЕГЭ профиль

Коротко о главном

Производная показывает скорость изменения функции, первообразная (антипроизводная) — функцию, из которой производная получена дифференцированием. Эти понятия связаны формулой Ньютона–Лейбница и решают задачи на исследование функций (задание 12) и вычисление значений производной/интеграла (задание 8).

Главное правило: если $F'(x) = f(x)$, то $F(x)$ — первообразная для $f(x)$. Все первообразные отличаются на константу: $F(x) + C$.

Определения и формулы/правила

Таблица производных

Функция $f(x)$	Производная $f'(x)$
$C$ (константа)	$0$
$x^n$	$n x^{n-1}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\dfrac{1}{\cos^2 x}$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x \ln a$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x \ln a}$

Правила дифференцирования

• Сумма/разность: $(f \pm g)' = f' \pm g'$
• Произведение: $(fg)' = f'g + fg'$
• Частное: $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$
• Сложная функция (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
• Константа множителем: $(Cf)' = Cf'$

Таблица первообразных

Функция $f(x)$	Первообразная $F(x)$
$0$	$C$
$x^n$ ($n \ne -1$)	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln|x| + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\dfrac{1}{\cos^2 x}$	$\tan x + C$
$e^x$	$e^x + C$
$a^x$	$\dfrac{a^x}{\ln a} + C$

Правила нахождения первообразной

• Сумма: $F(f+g) = F(f) + F(g)$
• Линейность: $F(kf) = kF(f)$
• Если $F(x)$ — первообразная $f(x)$, то первообразная $f(kx+b)$ равна $\dfrac{1}{k}F(kx+b) + C$

Геометрический и физический смысл

• $f'(x_0)$ — угловой коэффициент касательной к графику в точке $x_0$: $k = \tan\alpha = f'(x_0)$
• Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
• Если $s(t)$ — путь, то $s'(t) = v(t)$ — скорость, $v'(t) = a(t)$ — ускорение

Как применять

Пример 1. Найти производную функции $f(x) = 3x^2 - 5\sin x + \dfrac{1}{x}$.

Применяем правило суммы и таблицу: $$f'(x) = 6x - 5\cos x - \dfrac{1}{x^2}$$

Пример 2. Найти производную $f(x) = e^{2x+1}$.

Это сложная функция: внешняя $e^u$, внутренняя $u = 2x+1$. $$f'(x) = e^{2x+1} \cdot (2x+1)' = 2e^{2x+1}$$

Пример 3. Найти первообразную $F(x)$ для $f(x) = \cos(3x - 2)$, если $F(0) = 0$.

По правилу для сложного аргумента: $$F(x) = \dfrac{1}{3}\sin(3x-2) + C$$ Подставляем $F(0)=0$: $$\dfrac{1}{3}\sin(-2) + C = 0 \Rightarrow C = -\dfrac{1}{3}\sin(-2) = \dfrac{1}{3}\sin 2$$ Ответ: $F(x) = \dfrac{1}{3}\sin(3x-2) + \dfrac{1}{3}\sin 2$.

Типичные ошибки

• Забывают правило произведения, дифференцируя $fg$ как $f'g'$ вместо $f'g+fg'$.
• При сложной функции не умножают на производную внутренней функции (забывают цепное правило).
• При взятии первообразной от $f(kx+b)$ забывают делить на $k$.
• Путают знаки в производных и первообразных синуса и косинуса: $(\sin x)' = \cos x$, но $(\cos x)' = -\sin x$.
• Забывают добавлять константу $C$ при нахождении общего вида первообразной (важно в задачах с начальными условиями).
• Ошибаются в производной частного, путая порядок в числителе: правильно $f'g - fg'$, а не $fg' - f'g$.

Где встречается на экзамене

Задание 8 — вычислить значение производной или первообразной функции в точке, найти угловой коэффициент касательной, решить задачу на физический смысл производной (путь, скорость, ускорение). Задание 12 — исследовать функцию с помощью производной: найти точки экстремума, промежутки монотонности, наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке, часто с использованием сложных и составных функций.