Формулы планиметрии: площади и свойства фигур — ЕГЭ профиль

Коротко о главном

Планиметрия в задачах №1 и №17 требует знания формул площадей основных фигур и умения быстро выбирать подходящую формулу под данные условия (стороны, углы, диагонали, радиусы). Ключевая идея: для одной и той же фигуры часто есть несколько формул площади — выбирайте ту, что использует известные величины.

Определения и формулы/правила

Треугольник

Что известно	Формула
Основание и высота	$S=\dfrac{1}{2}ah$
Две стороны и угол между ними	$S=\dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$
Три стороны (Герон)	$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\ p=\dfrac{a+b+c}{2}$
Радиус вписанной окружности	$S=pr$
Радиус описанной окружности	$S=\dfrac{abc}{4R}$

Прямоугольный треугольник $$S=\frac{1}{2}\cdot\text{катет}_1\cdot\text{катет}_2,\quad R=\frac{c}{2},\quad r=\frac{a+b-c}{2}$$

Равносторонний треугольник со стороной $a$ $$S=\frac{a^2\sqrt3}{4},\quad h=\frac{a\sqrt3}{2},\quad r=\frac{a\sqrt3}{6},\quad R=\frac{a\sqrt3}{3}$$

Четырёхугольники

Фигура	Площадь
Квадрат (сторона $a$)	$S=a^2$
Прямоугольник ($a,b$)	$S=ab$
Параллелограмм (сторона, высота)	$S=ah$
Параллелограмм (стороны, угол)	$S=ab\sin\alpha$
Ромб (диагонали)	$S=\dfrac{d_1 d_2}{2}$
Трапеция (основания, высота)	$S=\dfrac{(a+b)}{2}h$
Произвольный четырёхугольник (диагонали, угол между ними)	$S=\dfrac{1}{2}d_1d_2\sin\varphi$

Окружность и её части $$S_{круга}=\pi R^2,\qquad C=2\pi R$$ $$S_{сектора}=\frac{\alpha}{360^\circ}\pi R^2\ (\alpha\text{ в градусах})$$

Правильный многоугольник (n сторон, сторона $a$, апофема $r$) $$S=\frac{1}{2}Pr=\frac{1}{2}na\cdot r$$

Полезные свойства

• В любом треугольнике сумма углов равна $180^\circ$.
• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся пополам.
• Средняя линия трапеции: $m=\dfrac{a+b}{2}$, она параллельна основаниям.
• Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Как применять

Пример 1. Стороны треугольника 6 и 8, угол между ними $30^\circ$. Найти площадь. $$S=\frac12\cdot6\cdot8\cdot\sin30^\circ=\frac12\cdot48\cdot0{,}5=12$$

Пример 2. Диагонали ромба равны 10 и 24. Найти площадь. $$S=\frac{10\cdot24}{2}=120$$

Пример 3. Основания трапеции 5 и 9, высота 4. Найти площадь. $$S=\frac{5+9}{2}\cdot4=7\cdot4=28$$

Типичные ошибки

• Использование формулы $S=ab$ для параллелограмма вместо $S=ab\sin\alpha$, когда дан угол, а не высота.
• Подстановка угла в градусах в формулы, где нужны радианы (или наоборот) при работе с секторами.
• Путаница между радиусом вписанной и описанной окружности в формулах через $r$ и $R$.
• Забывают делить на 2 в формуле площади через диагонали ромба и четырёхугольника.
• Неверный подсчёт полупериметра $p$ в формуле Герона (берут периметр целиком).

Где встречается на экзамене

В задании №1 формулы площадей применяются для быстрого вычисления геометрических величин по рисунку или условию (часто без чертежа, только числа). В задании №17 планиметрия используется в комбинации с алгебраическими условиями — площадь фигуры выступает как одно из уравнений системы, либо требуется найти площадь через промежуточные элементы (высоты, углы, радиусы), полученные из дополнительных построений.