Формулы сокращённого умножения — теория для ЕГЭ база

Коротко о главном

Формулы сокращённого умножения (ФСУ) — это готовые шаблоны для быстрого раскрытия скобок или, наоборот, для сворачивания выражения в произведение. Они экономят время на экзамене: вместо длинного умножения «в столбик» можно применить формулу и сразу получить ответ. Главное — запомнить формулы наизусть и научиться узнавать их в задаче даже при небольшой маскировке (перестановка слагаемых, дополнительные множители).

Определения и формулы/правила

Название	Формула	Словами
Квадрат суммы	$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$	Квадрат первого, плюс удвоенное произведение, плюс квадрат второго
Квадрат разности	$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$	Квадрат первого, минус удвоенное произведение, плюс квадрат второго
Разность квадратов	$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$	Разность квадратов равна произведению разности и суммы
Куб суммы	$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$	Используется реже, но встречается в базе
Куб разности	$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$	Аналогично кубу суммы, знаки чередуются
Сумма кубов	$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$	Пригодится для упрощения дробей
Разность кубов	$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$	Аналогично сумме кубов

Важные наблюдения:

• Формулы работают в обе стороны: можно раскрывать скобки или, наоборот, сворачивать многочлен в произведение (разложение на множители).
• $a$ и $b$ — это не только буквы, а любые выражения: числа, одночлены, скобки. Например, в $(2x+5)^2$ роль $a$ играет $2x$, а роль $b$ — число $5$.
• Знак минус в квадрате разности не влияет на последний член: $b^2$ всегда положителен, потому что квадрат любого числа неотрицателен.

Как применять

Пример 1. Вычислить без калькулятора. Найти $103^2$. Представим $103 = 100+3$, тогда по формуле квадрата суммы: $$103^2 = 100^2 + 2\cdot 100\cdot 3 + 3^2 = 10000+600+9=10609.$$

Пример 2. Упростить выражение. Упростить $(x+4)^2 - (x-4)^2$. Раскрываем каждую скобку: $$(x^2+8x+16)-(x^2-8x+16)=16x.$$ Здесь удобнее сразу заметить, что это разность квадратов двух выражений: $(x+4-(x-4))(x+4+(x-4)) = 8\cdot 2x = 16x$ — тот же ответ короче.

Пример 3. Разложить на множители и сократить дробь. Сократить $\dfrac{x^2-9}{x-3}$ при $x\ne 3$. Числитель — разность квадратов: $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Тогда $$\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.$$

Типичные ошибки

• Забывают средний член. В $(a+b)^2$ пишут $a^2+b^2$, теряя $2ab$. Проверка: раскройте скобки честно через умножение, чтобы убедиться, что средний член есть.
• Путают знаки в квадрате разности. $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$, а не $a^2-2ab-b^2$ — последний член всегда «плюс».
• Считают, что $(a-b)^2 = a^2-b^2$. Это неверно: квадрат разности и разность квадратов — разные формулы с разными результатами.
• Ошибка в разности квадратов при отрицательных числах. Например, $a^2-b^2\ne(a+b)^2$; нужно применять именно $(a-b)(a+b)$.
• Не видят формулу в замаскированном виде. Например, $4x^2-9$ не сразу узнают как $(2x)^2-3^2=(2x-3)(2x+3)$.
• Неправильно определяют, кто $a$, а кто $b$. Важно чётко выделить, какое выражение целиком является «первым», а какое «вторым» слагаемым.

Где встречается на экзамене

• Задание 4 часто требует вычислить значение выражения без калькулятора или упростить дробь, где применение ФСУ значительно сокращает вычисления (например, разложение на множители перед сокращением).
• Задание 16 — практические задачи, где встречаются вычисления вида «найти площадь», «упростить формулу», в которых через удобную группировку слагаемых можно применить квадрат суммы/разности или разность квадратов для более быстрого и точного счёта.
• Знание формул помогает избежать ошибок при работе с большими числами и сложными выражениями, экономя время на экзамене.