Механические колебания и волны — теория для ЕГЭ

Коротко о главном

Механические колебания — повторяющееся движение тела около положения равновесия (маятник, груз на пружине). Волна — процесс распространения колебаний в пространстве, переносящий энергию, но не вещество. На ЕГЭ проверяют знание формул периода, частоты, энергии колебаний, связи характеристик волны, а также умение анализировать графики $x(t)$, $v(t)$, $a(t)$.

Определения и формулы/правила

Основные величины колебаний

Величина	Обозначение	Формула/связь
Период	$T$	$T = \dfrac{t}{N}$, время одного колебания
Частота	$\nu$	$\nu = \dfrac{1}{T} = \dfrac{N}{t}$
Циклическая частота	$\omega$	$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi\nu$
Амплитуда	$A$	максимальное отклонение от положения равновесия

Уравнение гармонических колебаний: $$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_0)$$ $$v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \varphi_0)$$ $$a(t) = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2 x(t)$$

Период маятников:

Тип маятника	Формула периода	Что важно
Математический	$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$	зависит от длины нити и $g$, не от массы и амплитуды
Пружинный	$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$	зависит от массы груза и жёсткости пружины, не от $g$ и амплитуды

Энергия колебательной системы:

• Полная механическая энергия сохраняется (без трения): $E = E_к + E_п = \text{const}$
• Максимальная кинетическая энергия (в положении равновесия): $E_{к,\max} = \dfrac{m v_{\max}^2}{2} = \dfrac{kA^2}{2}$
• Максимальная потенциальная энергия (в крайней точке): $E_{п,\max} = \dfrac{kA^2}{2}$

Резонанс — резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешней силы совпадает с собственной частотой системы: $\nu_{вын} = \nu_0$.

Волны — основные соотношения:

Величина	Формула
Длина волны	$\lambda = vT = \dfrac{v}{\nu}$
Скорость волны	$v = \lambda \nu = \dfrac{\lambda}{T}$

• Продольная волна: колебания частиц вдоль направления распространения (звук в газе/жидкости).
• Поперечная волна: колебания перпендикулярны направлению распространения (волны на струне, свет).
• При переходе волны из одной среды в другую частота не меняется, а скорость и длина волны меняются.

Как применять

Пример 1. Груз на пружине совершает 20 колебаний за 10 с. Найти период и частоту. $$T = \dfrac{t}{N} = \dfrac{10}{20} = 0{,}5\text{ с}$$ $$\nu = \dfrac{1}{T} = 2\text{ Гц}$$

Пример 2. Длина математического маятника увеличена в 4 раза. Как изменится период? $$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}} \Rightarrow T \sim \sqrt{l}$$ При увеличении $l$ в 4 раза период увеличивается в $\sqrt{4} = 2$ раза.

Пример 3. Волна распространяется со скоростью 340 м/с, длина волны 0,5 м. Найти частоту. $$\nu = \dfrac{v}{\lambda} = \dfrac{340}{0{,}5} = 680\text{ Гц}$$

Типичные ошибки

• Путают период пружинного и математического маятников — считают, что первый зависит от $g$, а второй от $k$.
• Считают, что период колебаний зависит от амплитуды — для гармонических колебаний это неверно.
• Забывают, что при переходе волны в другую среду частота остаётся неизменной, меняются скорость и длина волны.
• Ошибаются в графическом анализе: путают графики $x(t)$ и $v(t)$ — скорость максимальна, когда смещение равно нулю, и наоборот.
• Неверно определяют тип волны (путают продольную и поперечную) в конкретной среде.

Где встречается на экзамене

Задание 4 обычно проверяет базовое понимание величин (период, частота, амплитуда, длина волны) и умение читать графики колебаний. Задание 13 часто требует расчётов с использованием формул маятников, энергии колебаний или связи характеристик волны, включая качественный анализ (как изменится период/энергия при изменении параметров системы).