Задание 4 ЕГЭ по физике: статика, колебания и волны — полный разбор

Что проверяет задание

Задание 4 проверяет умение применять базовые законы механики жидкостей и газов, статики твёрдого тела и теории колебаний к конкретной физической ситуации. Проверяются четыре смежные подтемы:

• гидростатическое давление, закон Паскаля и сила Архимеда;
• условия механического равновесия тела (силы и моменты сил);
• пружинный и математический маятники, свободные колебания;
• механические волны и связь их характеристик.

Задание рассчитано на быстрый расчёт по известной формуле или на анализ графика/рисунка, а не на длинную цепочку рассуждений. Ключевая сложность — правильно понять геометрию задачи (расположение уровней жидкости, точки приложения сил) и подставить данные в верную формулу.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

В формулировке почти всегда присутствует рисунок или график: схема сосуда с жидкостями, график зависимости силы Архимеда от глубины погружения, изображение сосудов разной формы, схема рычага или маятника. Требуется найти числовое значение величины — давление, плотность, силу, период и т. д. Ответ вводится в виде числа, единицы измерения указаны в условии.

Задание оценивается в 1 балл. Ответ засчитывается только при полном совпадении числа (с учётом округления, указанного в условии). Частичного балла за верный ход решения без правильного числа не даётся, поэтому важна точность вычислений и правильная работа с единицами измерения (см → м, г → кг и т. д.).

Что нужно знать

• Гидростатическое давление столба жидкости: $p = \rho g h$, где $h$ — высота столба, отсчитанная от свободной поверхности.
• Полное давление в жидкости на глубине $h$ (закон Паскаля с учётом внешнего давления): $p = p_0 + \rho g h$.
• Закон Паскаля: давление, создаваемое внешней силой, передаётся жидкостью (газом) одинаково по всем направлениям без изменения.
• В сообщающихся сосудах с однородной жидкостью давления на одном горизонтальном уровне равны: $\rho g h_1 = \rho g h_2 \Rightarrow h_1 = h_2$.
• В сообщающихся сосудах с двумя разными несмешивающимися жидкостями давления на границе раздела (или на общем уровне дна) уравниваются с учётом плотности каждой жидкости.
• Сила Архимеда: $F_A = \rho_{ж} g V_{погр}$, где $V_{погр}$ — объём погружённой части тела.
• Условие плавания тела: $F_A = mg \Rightarrow \rho_{ж} V_{погр} = \rho_{тела} V_{тела}$.
• Гидростатическое давление на дно зависит только от высоты столба жидкости и её плотности, но не зависит от формы и площади сосуда (гидростатический парадокс).
• Условия равновесия твёрдого тела: сумма всех сил равна нулю $\sum \vec F_i = 0$ и сумма моментов сил относительно любой оси равна нулю $\sum M_i = 0$.
• Момент силы: $M = F \cdot d$, где $d$ — плечо силы (перпендикулярное расстояние от оси вращения до линии действия силы).
• Правило рычага: $F_1 d_1 = F_2 d_2$.
• Период и частота колебаний связаны: $T = \dfrac{1}{\nu}$, циклическая частота $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi\nu$.
• Период пружинного маятника: $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$.
• Период математического маятника: $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$.
• Связь длины волны, скорости и периода (частоты): $v = \lambda \nu = \dfrac{\lambda}{T}$.

Методы решения

Метод 1. Баланс давлений в U-образной трубке. Если трубка соединяет два колена с разными жидкостями, нужно выбрать общий горизонтальный уровень (обычно дно) и записать равенство давлений столбов слева и справа с учётом их плотностей и высот.

Мини-пример: в одном колене только вода высотой $h$, в другом — вода высотой $b$ снизу и неизвестная жидкость высотой $(H-b)$ сверху. Тогда $\rho_{в} g h = \rho_{в} g b + \rho_1 g (H-b)$, откуда легко найти $\rho_1$.

Метод 2. Анализ графика силы Архимеда. Пока тело погружается, $F_A$ растёт линейно с глубиной погружения $x$ (объём погружённой части увеличивается пропорционально $x$), а после полного погружения — остаётся постоянной. Наклон линейного участка или значение плато позволяет найти плотность жидкости.

Мини-пример: кубик с ребром $a$ погружается на глубину $x \le a$, $F_A = \rho g a^2 x$. Зная координаты точки на графике, находим $\rho$.

Метод 3. Условие равновесия через моменты сил. Для рычага, весов, стержня на опоре записывают равенство моментов относительно оси вращения.

Мини-пример: груз $m_1=2$ кг висит на плече $d_1=0{,}3$ м от опоры, груз $m_2$ уравновешивает его на плече $d_2=0{,}6$ м. Из $m_1 g d_1 = m_2 g d_2$ находим $m_2 = 1$ кг.

Метод 4. Прямая подстановка в формулу периода колебаний. Для пружинного или математического маятника достаточно подставить данные в соответствующую формулу и решить относительно искомой величины (массы, жёсткости, длины нити, ускорения свободного падения).

Мини-пример: если $T=2$ с и $l=1$ м, то $g = \dfrac{4\pi^2 l}{T^2} \approx 9{,}87$ м/с².

Метод 5. Использование соотношения для волн. Если известны две из трёх величин ($v$, $\lambda$, $T$ или $\nu$), третья находится из $v=\lambda\nu$.

Мини-пример: волна с периодом $T=0{,}5$ с распространяется со скоростью $v=340$ м/с, тогда $\lambda = vT = 170$ м.

Алгоритм решения по шагам

1. Определить подтему по формулировке и рисунку: жидкости и давление, равновесие тела, колебания или волны.
2. Выписать все известные величины и перевести их в СИ (см → м, г/см³ → кг/м³ и т. д.).
3. Внимательно разобрать рисунок или график: какие уровни, точки приложения сил, участки графика соответствуют физическим процессам.
4. Записать основное уравнение (баланс давлений, условие равновесия, формулу периода или волновое соотношение) в общем виде.
5. Подставить числовые значения и выполнить алгебраические преобразования до конечной формулы для искомой величины.
6. Посчитать численный ответ, проверить размерность и порядок величины (плотность жидкости — сотни-тысячи кг/м³, давление — тысячи-десятки тысяч Па).
7. Сверить ответ с требуемой точностью и единицами измерения, указанными в условии.

Разбор примеров

Пример 1. В широкую U-образную трубку налиты неизвестная жидкость плотностью $\rho_1$ и вода плотностью $\rho_2 = 1{,}0\times10^3$ кг/м³. По рисунку: в одном колене трубки — только вода, уровень которой на высоте $h=24$ см от дна; в другом колене — снизу вода высотой $b=10$ см, а сверху неизвестная жидкость, причём полная высота столба жидкости в этом колене равна $H=30$ см (значит, слой неизвестной жидкости имеет высоту $H-b=20$ см). Требуется найти $\rho_1$.

Шаг 1. Переведём длины в метры: $h=0{,}24$ м, $b=0{,}10$ м, $H=0{,}30$ м.

Шаг 2. Так как трубка широкая и колена соединены, давления на уровне дна одинаковы: $$\rho_2 g h = \rho_2 g b + \rho_1 g (H-b).$$

Шаг 3. Сократим $g$ и выразим $\rho_1$: $$\rho_1 = \frac{\rho_2 (h-b)}{H-b}.$$

Шаг 4. Подставим числа: $$\rho_1 = \frac{1000\cdot(0{,}24-0{,}10)}{0{,}30-0{,}10} = \frac{1000\cdot 0{,}14}{0{,}20} = 700\ \text{кг/м}^3.$$

Ответ: 700 кг/м³.

Пример 2. График показывает зависимость силы Архимеда $F_A$ от глубины погружения $x$ кубика с ребром $a=10$ см $=0{,}1$ м в жидкость. Известно, что до глубины $x=a$ график линейный, затем горизонтальный (кубик полностью погружён). По графику видно, что при $x=a=0{,}1$ м сила достигает максимального значения $F_{max}=27$ Н, после чего остаётся постоянной. Нужно найти плотность жидкости.

Шаг 1. При полном погружении объём вытесненной жидкости равен объёму кубика: $V=a^3 = (0{,}1)^3 = 0{,}001$ м³.

Шаг 2. Сила Архимеда в этот момент максимальна и равна: $$F_{max} = \rho g V.$$

Шаг 3. Выразим плотность: $$\rho = \frac{F_{max}}{gV}.$$

Шаг 4. Подставим числа ($g=10$ м/с²): $$\rho = \frac{27}{10\cdot 0{,}001} = \frac{27}{0{,}01} = 2700\ \text{кг/м}^3.$$

Ответ: 2700 кг/м³.

Пример 3. В четыре сосуда разной формы налита вода до одинакового «визуального» уровня по клеткам, каждая клетка — 10 см. Нужно определить, в каком сосуде гидростатическое давление на дно максимально, и найти его значение.

Шаг 1. Вспомним гидростатический парадокс: давление на дно зависит только от высоты столба жидкости над дном и её плотности, а не от формы сосуда, ширины горлышка или объёма жидкости.

Шаг 2. По рисунку сравниваем высоты столбов воды (в клетках) в каждом сосуде. Максимальная высота столба — в сосуде, где уровень воды поднимается на 4 клетки, то есть $h = 4\times10\ \text{см} = 40\ \text{см} = 0{,}4$ м.

Шаг 3. Вычислим давление по формуле: $$p = \rho g h = 1000 \cdot 10 \cdot 0{,}4 = 4000\ \text{Па}.$$

Ответ: 4000 Па.

Типичные ошибки и ловушки

• Путают высоту столба жидкости с полной длиной сосуда или с расстоянием между уровнями разных жидкостей — нужно чётко выделять именно вертикальную высоту столба, отсчитанную от свободной поверхности до нужной точки.
• Забывают перевести сантиметры в метры или граммы в килограммы перед подстановкой в формулу — из-за этого ответ получается в 100 или 1000 раз больше/меньше правильного.
• При работе с сообщающимися сосудами уравнивают давления не на одном горизонтальном уровне, а на разных — это даёт неверное уравнение.
• Считают, что давление на дно зависит от объёма или формы сосуда, хотя оно определяется только высотой столба и плотностью жидкости.
• При анализе графика силы Архимеда не замечают, что после полного погружения тела график становится горизонтальным, и пытаются продолжать линейную зависимость дальше точки, где тело уже полностью под водой.
• В задачах на равновесие забывают учитывать плечо силы как перпендикулярное расстояние до линии действия силы, а не просто расстояние вдоль стержня.
• В формулах периода маятников путают, какая величина стоит под корнем (масса и жёсткость — для пружинного, длина и $g$ — для математического), и получают обратную зависимость.
• Неверно считают, что скорость волны зависит от частоты источника — в однородной среде скорость волны постоянна и определяется свойствами среды, а не источником.

Как готовиться

Сначала выучите формулы из раздела «Что нужно знать» наизусть, не пытаясь угадывать их на экзамене — это база, без которой быстрое решение невозможно. Далее разберите по несколько задач каждого типа: сообщающиеся сосуды с разными жидкостями, задачи на силу Архимеда с графиками, задачи на равновесие рычагов и стержней, задачи на маятники и волны с прямой подстановкой в формулу. Обязательно тренируйтесь читать рисунки: отмечайте на них известные высоты, уровни, точки приложения сил карандашом прямо на условии — это снижает число ошибок в геометрии задачи. Решайте задачи с переводом единиц в СИ автоматически, доводя этот навык до автоматизма, чтобы не терять баллы на арифметике. Периодически возвращайтесь к гидростатическому парадоксу и условиям равновесия — это концептуальные ловушки, которые часто путают на первый взгляд простые задачи. Наконец, отрабатывайте скорость: задание рассчитано на 2–3 минуты, поэтому чем быстрее вы узнаёте тип задачи по формулировке и рисунку, тем больше времени останется на более сложные номера экзамена.