Задание 13 ЕГЭ по физике: зеркала, линзы, преломление, контур и тень

Что проверяет задание

Задание 13 относится к блоку «Электромагнитные колебания и волны. Оптика» и проверяет умение применять законы геометрической оптики и теорию колебательного контура к конкретным ситуациям: построению хода лучей в зеркалах и линзах, расчёту углов преломления, определению параметров колебательного контура и геометрическому анализу тени и полутени. Задание требует не столько знания формул само по себе, сколько умения соединить формулу с геометрической картинкой — построить луч, изображение, тень или связать величины через закон сохранения энергии в контуре.

Особенность этой группы подтем в том, что задачи часто решаются через геометрические построения (подобие треугольников, свойства симметрии), а не через прямую подстановку в формулу. Поэтому важно уверенно читать чертёж, а не только помнить формулы.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Задание 13 — это задача с кратким числовым ответом (иногда с рисунком, который прилагается к условию). Типичные формулировки:

• «Луч света падает на плоское зеркало. Угол между падающим и отражённым лучами равен... Найдите угол между отражённым лучом и зеркалом»;
• «На рисунке показано изображение стрелки в плоском зеркале. Какая часть изображения видна наблюдателю»;
• «На сколько нужно сместить наблюдателя, чтобы он полностью увидел изображение»;
• «Определите период колебаний в контуре, если известны индуктивность и ёмкость» или наоборот, «найдите ёмкость по известному периоду»;
• «Найдите угол преломления луча на границе двух сред» или «определите предельный угол полного внутреннего отражения»;
• «Точечный источник света освещает препятствие; найдите длину тени (или полутени) на экране».

За задание дают 1 балл. Ответ — целое число или конечная дробь, вводится без единиц измерения, если не указано иное. Времени на такую задачу стоит отводить немного — 2–4 минуты, так как большинство подтем решается через одну-две формулы или одно геометрическое построение.

Что нужно знать

Зеркала

• Закон отражения: угол падения равен углу отражения, оба отсчитываются от нормали к поверхности: $\alpha_{пад} = \alpha_{отр}$.
• Изображение точки в плоском зеркале лежит на перпендикуляре к зеркалу, на том же расстоянии от плоскости зеркала, что и сам предмет, но по другую сторону — оно мнимое, прямое, равное по размеру предмету.
• Наблюдатель видит точку предмета в зеркале только тогда, когда луч от этой точки, отразившись, попадает ему в глаз; это определяется тем, проходит ли отражённый луч через реальные границы зеркала.

Линзы

• Формула тонкой линзы: $\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{f}$, где $F$ — фокусное расстояние, $d$ — расстояние от предмета до линзы, $f$ — расстояние от линзы до изображения.
• Оптическая сила линзы: $D = \dfrac{1}{F}$ (в диоптриях, если $F$ в метрах).
• Линейное увеличение: $\Gamma = \dfrac{f}{d} = \dfrac{H}{h}$, где $H$ — размер изображения, $h$ — размер предмета.
• Собирающая линза имеет $F>0$, рассеивающая — $F<0$ (в знаковой системе, где расстояния до мнимых изображений и предметов берут с минусом).

Закон преломления Снеллиуса

• $n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta$, где $\alpha$ — угол падения, $\beta$ — угол преломления, $n_1$, $n_2$ — показатели преломления сред.
• Относительный показатель преломления: $n_{21} = \dfrac{n_2}{n_1} = \dfrac{v_1}{v_2} = \dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}$.
• Предельный угол полного внутреннего отражения (при переходе из более плотной среды в менее плотную): $\sin\alpha_{пр} = \dfrac{n_2}{n_1}$, при $\alpha > \alpha_{пр}$ луч не выходит во вторую среду.

Колебательный контур

• Формула Томсона для периода собственных колебаний: $T = 2\pi\sqrt{LC}$.
• Частота колебаний: $\nu = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$.
• Циклическая частота: $\omega = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$.
• Полная энергия колебаний контура сохраняется и переходит между энергией электрического поля конденсатора и энергией магнитного поля катушки: $\dfrac{q^2}{2C} + \dfrac{LI^2}{2} = \dfrac{q_m^2}{2C} = \dfrac{LI_m^2}{2}$.

Тень

• Тень образуется, если источник света точечный — тогда есть только область полной тени, границы которой строятся прямыми линиями от источника через края препятствия.
• Если источник имеет конечные размеры, вокруг тени возникает полутень — область частичной освещённости.
• Размеры тени находят через подобие треугольников, образованных лучами света, краями препятствия и экраном.

Методы решения

1. Метод построения хода луча по закону отражения (зеркала). Углы падения и отражения отсчитывают от нормали к зеркалу, а не от самого зеркала. Угол между падающим и отражённым лучом равен $2\alpha$, где $\alpha$ — угол падения от нормали. Мини-пример: если угол падения от нормали равен $20^\circ$, угол между падающим и отражённым лучами равен $40^\circ$, а угол между отражённым лучом и зеркалом равен $90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$.

2. Метод характеристических лучей (линзы). Изображение точки предмета строят с помощью двух лучей: луча, идущего параллельно главной оптической оси (после линзы он проходит через фокус), и луча, идущего через оптический центр линзы (он не меняет направления). Пересечение этих лучей после линзы даёт положение изображения. Мини-пример: предмет находится на расстоянии $d = 2F$ от собирающей линзы. По формуле линзы $\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{2F} + \dfrac{1}{f}$, отсюда $f = 2F$ — изображение получается на том же расстоянии, что и предмет, действительное и равное по размеру.

3. Применение закона Снеллиуса напрямую. Зная показатели преломления и угол падения, находят угол преломления через $\sin\beta = \dfrac{n_1}{n_2}\sin\alpha$. Мини-пример: луч идёт из воздуха ($n_1=1$) в стекло ($n_2=1{,}5$) под углом падения $30^\circ$. Тогда $\sin\beta = \dfrac{1}{1{,}5}\cdot 0{,}5 \approx 0{,}33$, отсюда $\beta \approx 19{,}5^\circ$.

4. Формула Томсона и её преобразования (колебательный контур). Если известны две из трёх величин $T$, $L$, $C$, находят третью, возводя формулу в квадрат: $T^2 = 4\pi^2 LC$. Мини-пример: при $L = 1$ мГн и $C = 1$ мкФ период $T = 2\pi\sqrt{10^{-3}\cdot 10^{-6}} = 2\pi\cdot 10^{-4{,}5}\approx 2\cdot10^{-4}$ с.

5. Метод подобных треугольников (тень и построение видимой области в зеркале). Для тени сравнивают треугольники, образованные лучом от источника, краем препятствия и краем тени на экране. Для видимой части изображения в зеркале строят крайние лучи, идущие от глаза наблюдателя через границы зеркала, и находят, какая часть предмета (или его изображения) попадает в область, ограниченную этими лучами. Мини-пример разберём подробно ниже.

Алгоритм решения по шагам

1. Определить, какая подтема задана: зеркало, линза, преломление, контур или тень — по формулировке и наличию рисунка.
2. Если есть рисунок, выделить на нём известные величины: углы, расстояния, границы объектов (зеркала, линзы, препятствия).
3. Записать соответствующий закон или формулу в общем виде.
4. Если задача геометрическая (зеркало, тень), построить или мысленно представить ход крайних лучей и найти точки пересечения с помощью подобия треугольников или свойств симметрии.
5. Подставить числовые данные, аккуратно следя за единицами измерения (переводить миллиметры в метры, микрофарады в фарады и т.д. для контура).
6. Проверить знак и физический смысл результата: угол не может быть больше $90^\circ$, увеличение линзы должно соответствовать типу изображения (действительное/мнимое).
7. Округлить ответ в соответствии с требуемой точностью и записать без единиц измерения, если не указано иное.

Разбор примеров

Пример 1. Луч света падает на плоское зеркало. Угол между падающим и отражённым лучами равен $30^\circ$. Нужно найти угол между отражённым лучом и зеркалом.

Шаг 1. Угол между падающим и отражённым лучом складывается из двух равных углов от нормали: угла падения $\alpha$ и угла отражения $\alpha$ (по закону отражения они равны). Значит $2\alpha = 30^\circ$, откуда $\alpha = 15^\circ$.

Шаг 2. Нормаль перпендикулярна зеркалу, поэтому угол между отражённым лучом и зеркалом дополняет угол между отражённым лучом и нормалью до $90^\circ$: $\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$.

Ответ: $75^\circ$.

Пример 2 и 3. Оба примера относятся к одной геометрической схеме: в плоском зеркале наблюдается изображение стрелки, глаз наблюдателя расположен в определённой точке, и нужно определить, какая доля изображения видна, а также на сколько нужно сместить глаз по вертикали, чтобы увидеть изображение полностью. Разберём метод на условной, но полностью аналогичной по логике схеме с клетчатой сеткой (в реальной задаче размеры считываются с приложенного рисунка).

Пусть зеркало расположено вертикально и занимает по высоте от $y=0$ до $y=2$ (клетки), стрелка-предмет находится на расстоянии двух клеток от зеркала, её основание — на высоте $y=3$, наконечник — на высоте $y=5$ (длина стрелки 2 клетки, она расположена выше уровня зеркала). Глаз наблюдателя находится на той же горизонтали, что и нижний край зеркала, на таком же расстоянии от зеркала, как и предмет.

Шаг 1. Строим мнимое изображение стрелки: оно расположено по другую сторону зеркала, на том же расстоянии от плоскости зеркала, что и сама стрелка, и на тех же высотах — от $y=3$ до $y=5$.

Шаг 2. Чтобы определить, видна ли точка изображения, проводим луч из точки, где находится глаз, через эту точку изображения и находим точку пересечения луча с плоскостью зеркала. Если точка пересечения лежит в пределах реальных границ зеркала (от $y=0$ до $y=2$), точка изображения видна; если пересечение выходит за пределы зеркала — не видна.

Шаг 3. Поскольку расстояние от глаза до зеркала равно расстоянию от предмета до зеркала, коэффициент, определяющий положение точки пересечения луча с плоскостью зеркала, равен $k = \dfrac{1}{2}$ — то есть точка пересечения делит отрезок между высотой глаза и высотой точки изображения ровно пополам.

Шаг 4. Для нижней точки стрелки ($Y=3$): пересечение находится на высоте $y_{пересеч} = \dfrac{0+3}{2} = 1{,}5$ — это внутри границ зеркала (от 0 до 2), точка видна.

Шаг 5. Для середины стрелки ($Y=4$): $y_{пересеч} = \dfrac{0+4}{2} = 2$ — точно на верхней границе зеркала, это граница видимости.

Шаг 6. Для верхней точки стрелки, наконечника ($Y=5$): $y_{пересеч} = \dfrac{0+5}{2} = 2{,}5$ — выше верхней границы зеркала, точка не видна.

Шаг 7. Значит видна нижняя половина стрелки — от основания до середины, а верхняя половина (включая наконечник) не видна. Доля видимого изображения равна $0{,}5$.

Ответ к примеру 2: $0{,}5$.

Шаг 8 (для примера 3). Чтобы увидеть стрелку полностью, нужно, чтобы даже крайняя верхняя точка ($Y=5$) давала пересечение с зеркалом не выше верхней границы ($y_{пересеч}\le 2$). При смещении глаза по вертикали на величину $\Delta$ новая высота глаза равна $0+\Delta$, а точка пересечения луча к верхней точке стрелки: $y_{пересеч} = \dfrac{\Delta + 5}{2}$.

Шаг 9. Требуем $\dfrac{\Delta+5}{2} \le 2$, отсюда $\Delta \le -1$. Минимальное по модулю смещение, при котором вся стрелка становится видимой, равно $\Delta = -1$, то есть глаз нужно сместить на 1 клетку вниз.

Ответ к примеру 3: $-1$ (движение вниз на 1 клетку).

Этот метод — построение крайних лучей и сравнение точки их пересечения с зеркалом с границами самого зеркала — универсален для всех задач на видимую часть изображения в плоском зеркале, независимо от конкретных чисел на рисунке.

Типичные ошибки и ловушки

• Путают угол падения (от нормали) с углом между лучом и поверхностью зеркала — это дополнительные углы, различающиеся на $90^\circ$, и в задачах часто спрашивают именно угол с поверхностью, а не с нормалью.
• В задачах на линзы забывают учитывать знаки расстояний для мнимых изображений и рассеивающих линз, что приводит к неверному знаку фокусного расстояния или расстояния до изображения.
• В законе Снеллиуса путают, какой показатель преломления относится к среде, откуда луч выходит, а какой — куда входит; из-за этого получают обратное соотношение синусов.
• Забывают перевести единицы измерения при расчёте периода в контуре: индуктивность в миллигенри и ёмкость в микрофарадах нужно перевести в СИ перед подстановкой в формулу Томсона.
• В задачах на видимую часть изображения в зеркале пытаются анализировать сам предмет напрямую, а не строить его зеркальное изображение и крайние лучи от глаза — это резко усложняет решение и часто приводит к ошибке.
• В задачах на тень не различают полную тень и полутень, когда источник имеет конечные размеры, и в итоге неправильно определяют границы затемнённой области.
• При определении предельного угла полного внутреннего отражения путают, из какой среды луч должен идти в какую (более плотная в менее плотную), и получают синус угла больше единицы, что физически невозможно, но не замечают ошибку.

Как готовиться

Основной способ подготовки — прорешивание задач именно на построение: для зеркал и линз полезно несколько раз вручную построить ход характеристических лучей на бумаге, чтобы закрепить логику взаимного расположения предмета и изображения. Для задач на видимую часть изображения в зеркале стоит потренироваться строить крайние лучи от точки наблюдателя через границы зеркала — этот навык переносится на разные числовые варианты одной и той же схемы.

Для колебательного контура важно свободно перегруппировывать формулу Томсона относительно любой из трёх величин и уверенно работать со степенями десяти при переводе единиц. Для преломления полезно решить несколько задач с переходом луча как из менее плотной среды в более плотную, так и наоборот, чтобы не путаться в направлении неравенства углов.

Полезно вести список формул с указанием, для какой подтемы и в каких единицах они применяются, и периодически возвращаться к разбору типичных ошибок, отмеченных выше — большая часть потерянных баллов в этом задании связана не с незнанием формул, а с невнимательностью к деталям построения и знакам величин.